31 解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.
5. 设X~P(?)，且P{X?5}?P{X?6}，求E(X)． 解：由题意知X～P（?），则X的分布律P ?X?k?=?k??k!e，k = 1,2,...
又P?X?5?=P?X?6?, 所以 ?5?65!e???6!e??
解得 ??6，所以E(X) = 6.
6. 设随机变量X的分布律为P{X?k}?6?2k2,k?1,?2,3,?4,?,问X的数学期望是否存在？
解：因为级数??((?1)k?1k?6?6?， 而
k?1?2k2)??((?1)k?16k?1?2k)??2?(?1)k?11k?1k??1发散，所以X的数学期望不存在.
k?1k7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为
?1?xf(x)???9xe/3,x?0, ??0其它.求一天的平均耗电量． 解：E(X) =??xf(x)dx???x/312?x/3???0x19xedx?9??0xedx=6.
8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为
?25F(x)???1?x2,x?5, ??0其它.求这种家电的平均寿命E(X)．
解：由题意知，随机变量X的概率密度为f(x)?F?(x) 当x>5时，f(x)? ??2?25x3?50x3，当x?5时，f(x)?0.
E(X) =???5050x|??-?xf(x)dx????5x3dx??x5?10
所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.
9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为
f(x)???42x(1?x)5,0?x?1,
?0其它.求X的数学期望E(X)．
解：E(X) =???xfx-?()dx??1x25042(1?x)dx=1/4
10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．
31
32 ?32(1?x)，?1?x?0，?2??32 f(x)??(1?x),0?x?1，?20，其它.???解：E(X)?132xf(x)dx?x(1?x)dx?x(1?x)dx?0. ?????12?0232??011. 设X~B(4,p)，求数学期望E(sin?X2)．
解：X的分布律为P{X?k}?Cnkpk(1?p)n?k， k = 0，1，2，3，4， X取值为0，1，2，3，4时，sin?X相应的取值为0，1，0，-1，0，所以
2E(sin?X2)?1?C4p(1?p)?1?C4p(1?p)?4p(1?p)(1?2p)
1133312 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：（k > 0，常数），W?kV，
求W的数学期望．
?1, 0?v?aa解：V的分布律为f(v)??，所以 ??0, 其它?E(W)??????kvf(v)dx?2?a0kv21adv?k13a12(v)|0?ka a3313. 设随机变量(X, Y )的分布律为
Y X 0 1 2 求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．
解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.
14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度f(x,y)??解：E(X)=
12?24xy,?0,0?x?1,0?y?1,x?y?1其它0 3/28 3/14 1/28 1 9/28 3/14 0 2 3/28 0 0 ，求E(X)，E(Y)，E(XY)
??Dx?24xydxdy??21024x2?31?x0ydydx
y??1024x?2(1?x)dx?2?(12x01?24x?x)dx?(4x?6x?4341251x)?0525y??x?1
x 32
33 E(Y)???y?24xydxdyD??24y?01121?y0xdxdy?2/51?x11
E(XY)???xy?24xydxdy??024x2?0y2dydx??024x2?D3(1?x)3dx ?(82441345623x?6x?5x?3x)?.015 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律
X 10 11 12 13 14 pi 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为Y?1000(12?X),求E(Y)，D(Y)． 解： E(Y) = E［1000(12-X)］
=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400
E(Y2) = E［10002(12-X)2
］
=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106
D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106- 4002=1.44×106
16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,?, 其中0 < p < 1是常数，求E(X)，D(X)．
解：令q=1- p ,则
????kE(X)??(k?P{X?k})??(k?qk?1p)?p?k?qk?1?p?dq ?qk?pd(1k?1k?1k?1k?1dq?pddq?k?0dq1?q)?1/p????E(X2)??(k2?P{X?k})??(k2?qk?1p)?p[?k(k?1)?qk?1??k?qk?1]
k?1k?1k?1k?1??2??pq?k(k?1)?qk?2?1/p?pq?d2kdq2qk?1/p?pq(dk?1k?0dq2?q)?1/p
k?1?pqd212dq2(1?q)?1/p?pq2(1?q)3?1/p?2q/p?1/p
D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2
?117. 设随机变量X的概率密度为f(x)??x|?1?1?x2,|，试求E(X)，D(X)．
???0,其它解：E(X)=
????xf(x)dx??1?1x1dx?0
?1?x2D(X)= E(X2
)=
????x2f(x)dx??11?1x2?1?x2dxx?sintt?[??/2,?/2]??/2sin2t??/2?costdt
?2/21?cos2t1???02dt?2
18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，?XY??1/6，求D(X?Y)，D(X?3Y?4)． 解：因为?Cov(X,Y)XY?，所以
D(X)D(Y)
33
34 Cov(X,Y)??XYD(X)D(Y)=-1/6×3×2=-1,
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?9?4?2?11
D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?2Cov(X,?3Y)?9?36?6(?1)?51
19. 在题13中求Cov(X，Y)，?XY． 解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4,
E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E(X)= 0×（3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)=4/7, E(Y)= 0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/112,
Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ?XY = Cov(X，Y) /(D(X)D(Y))=-9/56 ? (9/2845/112)= -5/5
2
2
2
2
2
2
2
2
20. 在题14中求Cov(X，Y)，?XY，D(X + Y)． 解：E(X)?E(Y)?E(X)?225,E(XY)?152215,Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??275
??0211?x024xydydx?23?E(Y)
D(X)?E(X)?E(X)?41???D(Y) ??152525?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??23275
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为
?1?,f(x,y)?????0x?y?1, 其它.22试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
解：E(X)?E(Y)???1?x2211?x2?1?1?x2x/?dydx??1?12x1?x/?dx?0
2??1?1?1?x1y/?dydx?0
2E(XY)???1?x?1?1?x2xy/?dydx?0，
所以Cov(X，Y)=0，?XY =0，即X和Y是不相关.
fX(x)???????1?x2?f(x,y)dy????1?x21/?dy,?0，??21?x2?1?x?1??，?1?x?1
??其他?0，其他??21?y2??1?y?1，?1?y?1 ????其他0，其他?21?y????1/?dx,fY(y)??f(x,y)dx????1?y2???0，? 34
当x+ y≤1时，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的
2
35 2
22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为
?1/2,f(x,y)???0|y|?2x,0?x?1其它.
y验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 < x < 1, | y |< 2x E(X)?1y?2x??Dxf(x,y)dxdy???012x12122x?2xxdydx??2xdx?0223,
OE(Y)???Dyf(x,y)dxdy???012x?2x1ydydx?0, 12xydydx?0,所以Cov(X，
xE(XY)???Dxyf(x,y)dxdy???0?2xy??2xY)=0，从而
?xy?Cov(x,y)D(x)?D(y)?0，因此X与Y不相关 .
fX(x)?????2x1?dy?2x,0?x?1 f(x,y)dy????2x2?0,其他?f1y?11dx??,?2?y?0???y224?2??1y?1(y)??f(x,y)dx???y2dx??,0?y?2 Y??24?20,其他???所以，当0 .1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数?的指数分布，问若要获利的数学期望 35