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?2?i21?1，则啮合方程式为（见吴序堂“齿轮啮合原理” P150式3-74）：
i21cos(?1)(?z1sin??any1cos??x1nz1sin?)?i21sin?1(?anx1cos??z1ny1sin??y1nz1sin?) ?(1?i21cos?)(y1nx1?x1ny1)?ai21nz1sin?（2-5） 本计算中两轴的交错角??900，啮合方程式可以简化为：
Ucos?1?Vsin?1?WU?i21(x1nz1?z1nx1)V??i21(z1ny1?y1nz1)W?y1nx1?x1ny1?ai21nz1 （2-6） 把螺旋方程式（2-2）及其法线方程式（2-4）代入啮合方程式（2-6），经过简单的运算可以得到：
U?cos(???1)?V?sin(???1)?W? U???p2?y0?x0(x0x0?y0y0)???V??P2?x0?y0(x0x0?y0y0) p??W??(?a)(x0x0?y0y0)i21??? （2-7）
2.3 渐开线蜗杆齿面方程式
渐开线蜗杆的齿面是渐开螺旋面。本文采用端截形—渐开线作螺旋运动而产生渐开螺旋面的方法来推导齿面方程式。为了适应各种实际情况,我们取齿槽对称轴(图2.1)作为蜗杆的坐标轴。在起始的端面中,右侧和左侧的渐开线方程式为
???)??sin(???)]??x?rb[cos( ?y??[sin(???)??cos(???]?rb?
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图2.1 蜗杆坐标轴
式中：
“土”号的选取定为:右侧齿面方程式中y取“+”号 左侧齿面方程式中y取“一”号。符号说明见下表。
表2.1
符号 参数名称 符号 参数名称 θ q
?brb
基圆柱半径 渐开线展开角 节圆半径
齿槽对称线x与x?的夹角 端面齿槽宽度 端面齿形角 法向齿形角 螺旋面的导程
绕蜗杆轴线的回转角 螺旋参数 基圆柱螺旋升角 中心距 蜗杆头数 轴间角
节圆柱螺旋升角 法向模数
节圆柱上的法向齿厚
ψ r η e αt αn p
a z ∑ γ Mn Sn
d
max 砂轮的最大直径
上式中 tg?t?tg?nsin?,tg??????p,e?mnsn,??mnsn 2?rsin?2rsin? 如果将蜗杆端截形沿蜗杆轴线z向右旋，而轴线Z与轴线X，Y构成右手系，则右、
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左齿面的方程式为
?????)??sin(?????)]?x?rb[cos(??????)??cos(?????)]?y??rb[sin(??z?q?式中：q?rbtg??rtg?,rb?rcos?t,cos??cos?cos?nbb （2-9） 图2.2为蜗杆右侧的渐开螺旋面。它的坐标轴与上述是一致的。由渐开螺旋面的几何构成法可知:当基圆柱的切平面v。绕基圆柱纯滚动时，在v切平面上的斜AB就形成渐开螺旋面。渐开螺旋面上任一点M的法线必位于基圆柱切平面v内，且垂直于AB。设法线的单位向量为e，则它在坐标轴上的分量为：
图2.2 蜗杆溅开螺旋面
??sin?sin(?????)b?ex??ey??sin?bcos(?????) （2-10） ??cos??b?ez
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3 渐开线蜗杆的建模
3.1 建模原理
表示一个形体，有两种模型：数据模型和过程模型。数据模型以数据文件的形式存在，完全以数据描述，可进一步分为线框模型、表面模型、实体模型等，实现方法包括特征表示、空间分割表示、推移表示、边界表示、构造实体几何表示等。线框模型将形体表示成一组轮廓线的集合，其特点是简单、处理速度快，是真实物体的高度抽象，但与形体之间不存在一一对应关系，不适合真实感显示；表面模型将形体表示成一组表面的集合，形体与其表面一一对应，适合于真实感显示：实体模型用来描述实体，主要用于CAD／CAM，包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信息。过程模型以一个过程和相应的控制参数描述，以一个数据文件和一段代码的形式存在，例如：用一些控制参数和一个生成规则描述的植物，包括粒子系统、L系统、迭代函数系统、FBM等fill”。由于实体模型最适合于CAD／CAM中形体的实现，所以本论文讨论的是数据模型中的实体模型的建模。实体就是具有一定的形状、具有封闭的边界(表面1、内部连通、占据有限的空间、经过运算后，仍然是有效的物体的形体。实体模型是数据模型的一种，所以适用于数据模型的表示方法也适用于实体模型，常见的实体建模表示方法有特征表示法，空间分割表示法，推移表示，边界表示法，构造实体几何表示法。特征表示法用一组特征参数表示一组类似的物体，特征包括形状特征、材料特征等，适用于工业上标准件的表示。空间分割表示法可细分为空间位置枚举表示，八叉树表示，单元分解表示等三种表示法，前两种表示不能精确表示物体，后一种表示不唯一，物体的有效性难以保证。推移表示是将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体；其特点是表示简单、直观，但作几何变换困难，对几何运算不封闭。构造实体几何表示法将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树；表示简单、直观，也是物体的构造方法，可用作图形输入手段，容易计算物体的整体性质，物体的有效性自动得到保证；但表示不唯一。不能直接用于显示，且求交计算麻烦。各种表示法之间没有本质上的优劣之分，只是适用的
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范围不同，本论文实现实体建模的表示法是边界表示法，下面着重介绍边界表示法。边界表示法简称B．reps法。它的基本思想是一个实体可以通过它的面的集合来表示，而每一个面又可以用边来描述，边通过点，点通过三个坐标值来定义，多边形平面和样条曲面是边界表示的典型例子。边界表示法强调实体外表的细节，详细记录了构成物体的所有几何信息和拓扑信息，将面F、边E、顶点v的信息分层记录，利用欧拉公式V-E+F=2建立层与层之间的联系。其优点是能精确表示物体，表示能力强，几何变换容易，适于显示处理；缺点是表示复杂，有效性难以保证，集合运算复杂。选定了适合的表示方法，如边界表示法；其具体的实现方法主要有两种。一种是应用计算机高级语言，如C、C++等，和事先推导的模型表面数据矩阵或数据库；直接对操作系统(如Windows等)的图形接口和图形库(如Open/GL等)进行开发设计，运行时不依托于其他的图形软件；这种方法的优点是避开其他软件功能的限制，设计者有很大的自主性，然而这种方法需要的基础理论知识繁多，且程序设计较困难，开发周期长，不适于一般的机械产品设计人员另一种方法是借助现有的三维图形软件直接建模，并可通过编程来扩大其功能，即通常所说的二次开发。相对前一种方法而言，该方法具有与具体建模方法无关，程序编制简便，开发周期短等优点，且可利用三维软件的缩放、旋转、着色等常用功能，而无需对这些功能重新编制程序，因此是大多数机械设计人员选择的方法。目前常用的三维图形软件，如CATIA、Pro／E、UG等一般都是采用上面所叙述的边界表示法来表示形体，在这里我们采用Pro／E来建模。
3.2 三维造型软件Pro／E
（1） Pro／E简介
1985年，PTC公司成立于美国波士顿，开始参数化建模软件的研究。1988年，V1．0的Pro/ENGINEER诞生了。经过10余年的发展，Pro／ENGINEER已经成为三维建模软件的领头羊。目前已经发布了Pro／ENGINEERproewildfire5．0。PTC的系列软件包括了在工业设计和机械设计等方面的多项功能，还包括对大型装配体的管理、功能仿真、制造和产品数据管理等。Pro／ENGINEER还提供了目前所能达到的最全面、集成最紧密的产品开发环境。 （2）Pro／E的主要特性 a全相关性
Pro／ENGINEER的所有模块都是全相关的。这就意味着在产品开发过程中某一处进
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