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第二节 同步旋转坐标系上的数学模型及状态方程
交流电机矢量控制系统最常用的坐标系是同步旋转坐标系，即d-p轴的旋转角速度pγ为
pγ=ωs ，pγ-pθ=ωst
其中，ωs为定子变量的同步角速度，pθ为转子的角速度，ωst为转差角速度。 此时的派克方程为： 电压方程为
??usq?RSisq?p?sq??s?sd? (2-10) ?urd?R?ird?p?rd?(?s??)?rq?urq?R?irq?p?rq?(?s??)?rd??usd?RSisd?p?sd??s?sq 磁链表达式
?sd?Ls`isd?Lmird??sq?Ls`isq?Lmirq?? (2-11) ??rd?Lmisd?Lr`ird??rq?Lmisq?Lr`irq?? 转矩表达式
Tem?pn(isd?sd?isd?sq) (2-12) 机电运动方程式
Tem?TL?Jd? (2-13)
Pndt 异步电机在d-q坐标上的动态结构图 u??usdusqurdTurq i?isd??isqird0RS0000Rr0Tirq
? ????sd?sq?rd?RS?0T ?rqR???0??0?0?0?? 0??Rr??L`S? L??0?Lm??00L`S0LmLm0L`r0?00???Lm?? e??sr?00???L`r??0??s000000?sl0???sd????s?sq????????0?sqssd? ???????sl???rd????s?rq??????0????rq?????s?rd?? 考虑到磁链方程的电压方程式可写为：
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(2-14)
u=Ri+Lpi+er
由式（2-13）（2-11）（2-12）化成多变量系统结构图，如图2-3所示。
u-e(R?Lp)?1iL??1??.?s?TL-?2??.TemPnJp?
图2-3 异步电机的多变量非线性动态结构图
从图2-3中我们可以看到异步电机系统是一个多变量控制结构，它的数学模型具有以下性质。
（1）异步电动机可以看作为一个双输入双输出的系统。输入量是电机电压矢量u和定子与d-q坐标轴的相对速度ωk；输出量是磁链矢量Ψ和转子角速度ω。电流矢量可以看做是状态变量，与磁链矢量之间有式（2-11）的确定关系。 （2）非线性因素存在于?1(.)和?2(.)中，即存在于产生旋转电动势和电磁转矩的两个环节中，而系统的其它部分则是线性关系。这就与直流电机的弱磁控制情况比较接近。
（3）结合电压方程式(2-10)可以看出，多变量的耦合主要体现在旋转电动势上。如果忽略旋转电动势的影响，系统就可以蜕化成单变量的。
异步电机的多变量控制系统可以选择不同的变量作为状态变量，这样就会在一些情况下便于分析和控制，而采用的坐标系和相关状态变量则根据具体分析要求和控制需要来确定。
第三节 异步电动机的数学模型
通过以上分析我们现在就可以给出相对于a相绕组以任意角速度旋转的坐标系下的异步电动机数学模型。
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1、电压方程式：
??? urd?Rrird?p?rd?(?k??)?rq? （2-15）
?urq?Rrirq?p?rq?(?k??)?rd??urd?urq?0usd?Rsisd?p?sd??k?spusq?Rsisd?p?sq??k?sd2、磁链方程式：
?sd?Lsisd?Lmird??sq?Lsisq?Lmirq???
?rd?Lmisd?Lrird??rd?Lmisq?Lrirq?? （2-16）
3、转矩表达式：
Tem?pnLm(isq?sd?isd?sq) （2-17） 4、机械运动方程式： Tem?TL?Jd? （2-18） Pndt
第四节 坐标变换和变换矩阵
上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的。在实际应用中必须设法予以简化，简化的基本方法就是坐标变换。
一、坐标变换的基本思路
坐标变换的目的是将交流电动机的物理模型变换成类似直流电动机的模式，这样变换后，分析和控制交流电动机就可以大大简化。以产生同样的旋转磁动势为准则，在三相坐标系上的定子交流电流iA、iB、iC，通过三相——两相变换可以等效成两相静止坐标系上的交流电流iɑ和iβ，再通过同步旋转变换，可以等效成同步旋转坐标系上的直流电流id和iq。如果观察者站到铁心上与坐标系一起旋转，他所看到的就好像是一台直流电动机。
把上述等效关系用结构图的形式画出来，得到图2-4。从整体上看，输人为A，B，C三相电压，输出为转速ω，是一台异步电动机。从结构图内部看，经过3/2变换和按转子磁链定向的同步旋转变换，便得到一台由im和it输入，由ω输出的直流电动机。
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?ABCiAiBi?itiC3/2i?VRim等效直流电动机模型?异步电动机
图2-4 异步电机的坐标变换结构图
二、矢量变换的原理及实现方法
异步电动机的控制可以通过矢量的坐标变换来把异步电动机的转矩控制等效为直流电动机的转矩控制。所以，矢量的坐标变换是电动机矢量控制系统中非常重要的步骤。 矢量坐标变换原理
（一）矢量的坐标变换主要依据以下原则： （1）变换矩阵的确定原则
在确定电机的电流变换矩阵时，应该使得变换前后的旋转磁场等效，即变换前后的电动机旋转磁场相同。
（2）功率不变原则
功率不变原则所体现的是在确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时应该遵守变换前后电机的功率不变的原则。
b.不相变换是从三相轴系到两相轴系(3/2)或者两相轴系到三相轴系的变换(2/3)。通过相变换可以使得电机由对称的三相转变为对称的两相电机。定、转子各相绕组分别具有相同的匝数和分布以及相同的电阻称为对称。 （二）异步电动机的坐标系分类
异步电动机的坐标系主要有三种，它们是按照电机的实际情况来确定的。 （1）定子坐标系
三相异步电动机的定子坐标系为其三相绕组的轴线确定，为A-B-C三相坐标系，三相彼此互差120°。由于平面矢量可以用两相直角坐标系来描述，所以在定子坐标系中又定义了一个两相直角坐标系α-β直角坐标系。其中，α与A轴重合都是固定在定子绕组A相的轴线上。 （2）转子坐标系
与定子坐标系类似，转子坐标系也是由转子的三相绕组轴线a，b，c来确定的a-b-c坐标系和d-q坐标系。其中，平面直角坐标系的d轴位于转子轴线上，q轴超前d轴90°，且转子坐标系以转子的角速度ωr旋转。
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（3）同步旋转坐标系
同步旋转坐标系的M轴固定在磁链矢量上，T轴超前M轴90°，且坐标系同磁链矢量一起在空间以角速度ωs旋转。
以上各坐标系之间的夹角定义为：定子轴α到磁链轴M之间的夹角为φs，即磁链同步角，也叫磁场定向角；转子轴d到磁链轴M的夹角为φL，即负载角；λ为转子位置角
λ=φs-φL
三、矢量坐标变换的实现 A、相变换的实现：
(1)定子绕组轴系（A-B-C和α-β）的变换，给出定子电流变换矩阵C(二到三相的变换)为：
??1?2?1? C??32???1??20323?21?2??1? (3-5) ?2?1?2??由C我们就可以得出电压及电阻的变换矩阵求出来。
(2)转子轴系的变换与定子轴系类似，变换矩阵在当两相转子绕组，d、q相序和三相转子绕组，a，b，c相序取为一致并且使d轴与a轴重合时与定子绕组的变换矩阵式相同。 B、矢量旋转变换
α-β直角坐标系到M-T坐标系的变换、转子d-q坐标系到静止α-β坐标系的变换就是矢量旋转变换。
(l)定子轴系的矢量旋转变换即α-β直角坐标系到M-T坐标系的变换。 i??矩阵为：
?co?ss C??ns??si??1?CiMT （3-6）
通过计算推导我们得到变换矩阵C，从静止坐标系到同步旋转坐标系的变换
si?ns? ? （3-7）co?ss?由式(3-6)和式(3-7)可以绘出矢量旋转变换器的模型结构图。如图2-5所示，矢量旋转变换器(VR，Vector Rotator)是由四个乘法器、两个加法器、一个反号器组成。
(2)转子轴系的矢量旋转变换是d-q坐标系到静止α-β坐标系的变换。转子的电流id，iq频率在变换之前是转差频率，变换之后转子电流irɑ，irβ的频率是定子
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