如抽取了12个样，N—2＝10，r＝0.612。查表可知，| r |≥0.576，| r |＜0.708，可以说在α＝0.05水平上是显著的，而在α＝0.01水平上是不显著的。
经过显著性检验以后，所建立的回归方程虽然是有价值的，若用以预报外推涌水量或水位降深，仍然可能存在一定的误差，还需要研究预报的精度问题。
各实际观测值与回归方程计算值的误差称为剩余标准差，
以δS表示，用下式计算：
式中：Si为实际观测值，S?为对应在回归方程上的计算值。 剩余标准差的大小，反映了各实测点偏离回归方程的程度，可以用来说明用此回归方程外推预报的精度。δS愈小，
则预报精度愈高。
根据概率论中随机变量成正态分布的理论可知，在Si的全部观测值中，有68.3%都可能落在回归直线两旁各一个剩余标准差的范围内，即任一观测值Si可能落在S???i之间的
95.4%
概率P＝68.3%，或用下式表示（图10一9）：
例如，当我们计算得知δi＝0.5m，用回归方程预报Qi＝23104m3/a时，S?＝10m，则S＝10±0.5m的精度只有68.3%的把握；而S＝10±1.0m的精度则有95.4％的把握；若预报S＝10±1.5m的精度则几乎有百分之百（99.7％）的把握。
要提高预报的精度及预报的把握性，只有提高观测的精度，尽量减少人为误差，观测数据要多，自变量的取值范围要大，相关系数要大。
以上以 S与 Q之间的关系为例，讨论了一元线性回归方程的建立，显著性检验及预报精度，同样可以分析其他量（如降水量与允许开采量或泉流量）之间的相关关系。 （2）非线性回归（曲线回归）
若实际观测值在散点图上没有直线的趋势，而呈近似的曲线趋势时，则可用上述相同的方法建立一个曲线回归方程。不过，首先要用变量替换的方法，把曲线方程变为直线方程（即线性化），然后利用前述的一元线性回归的方法进行求解。即
曲线方程→变量替换→将曲线方程化为直线方程→通过线性回归得线性回归方程→变量回代→还原为曲线方程。 例如，幂函数有满足多种曲线的性质，其一般式为：y＝b ax
式中：a，b为待定系数。若两边取对数则变为：
lgy?lga?blgx
令Y＝lgy，A＝lga，B＝b，X＝lgx，得直线方程：
Y＝A+BX
下面用例子来说明一元线性回归方法评价可开采量的方法步骤：
实例：某水源地已有多年开采历史资料，经过条件分析，认为扩大开采后仍有补给保证。为了满足扩大开采，要求外推设计降深26m时的开采量。
解：首先，据历史资料绘成Q—S坐标的散点图，以便选择用直线或曲线回归方程。
按直线相关计算。原始资料和计算结果均列于表10—9中。计算步骤如下：
（1）计算基本数据：算出均值Q和S，再计算Qi?Q和
(Qi?Q)，Si?S和(Si?S)及(Qi?Q)?(Si?S)。 （2）求根方差及均方根差：
22
（3）求相关系数：
（4）进行显著性检验：令N=6，则N—2=4，查检验表，当α＝0.01时，相关系数达到显著的最小值，为0.917，这里0.996＞0.917，故可认为这里开采量与降深的关系是密切的（显著相关）。另外，按一般供水要求，r＞0.8，也是符合要求的，因此可以建立回归方程。 （5）求回归系数，建立直线回归方程：
回归方程为：
（6）求剩余标准差，确定预报精度：
（7）进行外推预报
用所建直线回归方程预报地下水的开采量，外推设计降深
为26m时的开采量，计算结果如表10一11所示。
2．多元回归
实际上影响地下水水位下降的因素往往不只一个，而是多个独立自变量的同时影响。因此，需要用多元回归方程来进行外推预报。多元回归的基本原理与建立一元回归方程大体相同，但计算上却要复杂一些。由于可运用电子计算机，许多复杂的计算都可以很快完成。 （1）二元直线回归方程
回归方程的一般形式为：
式中，a，b1，b2为待定系数，x1，x2为两个相互独立的自变量，这里指影响地下水位的因素，例如开采量、降雨量、回灌量等。
同样可用最小二乘法的原理，求出各待定系数，其公式为： 式中：
，x，x分别表示各自的均值。 其计算步骤与一元回归相同。 （2）二元曲线回归方程
y12也是将其线性化以后按线性方程计算。例如，二元幂曲线的一般式为： 两边取对数则变为： 令
则得
便可接直线二元回归方程计算。 （3）多元回归方程
当更多自变量影响时，可以用一般的多元线性回归方程： 同样，用最小二乘法原理可以求出各个待定系数，即回归系数。解多维联立线性方程组时，必须用电子计算机计算，有关书中均有专门程序可用。 3．逐步回归
若采用逐步回归的计算方法，还可以进行因子“贡献”大小的挑选，剔除“贡献”小的因素，最后得到主要影响因素的回归方程。曾有人将这种方法用于地下水动态预报中，取得较好的效果。
4．相关外推法的特点及适用条件
相关分析法是建立在数理统计理论的基础上的，考虑了一些随机因素的影响，便于解决一些复杂条件的水文地质问题。在数据采样时，应注意资料来源的一致性。它是根据现实物理背景下得出的统计规律，在此基础上适当外推是可以的，但外推范围不能太大。
这种方法适用于稳定型或调节型开采动态，或补给有余的旧水源地扩大开采时的地下水资源评价。如果已经是消耗型水源地，要用人工调蓄、节制开采来保护水源地。这时，也可以用相关分析法分析开采量、回灌量与水位的关系，求得合理的开采量和人工回灌量。上海市在控制地面沉降时曾作过这样的分析。