（二）系统理论法 1．基本原理
系统理论是从统计通信技术和自动控制论中建立起来的。一个系统应由三部分组成。一是物理实体，例如通讯设备、自控装置、放大器等；用在水文地质上则指含水体、流域等。另外两部分是输入和输出信息。这三部分构成一个系统。可表示如下：
当有输入信息I（t）时，经过物理实体的作用，便得出输出信息O（t），不管物理实体的具体结构如何，我们用函数w（t）表示。一个系统三部分之间的数量关系，在数学上称为褶（卷）积关系，即：
式中： I（t）––––描述输入信息，称为系统的激励函数； W（t）––––刻划系统物理特征的函数，称为系统的特征函数或称权函数；
O（t）––––描述输出信息，称为系统的响应函数。当输入是单位脉冲迪拉克（Dirac）函数，即δ函数时，相应的输出称为单位脉冲响应函数。
若物理实体已处于定常状态，即权函数不随时间而改变，则上式成为
权函数也是单位脉冲响应函数。由于这个积分运算是线性运算，所以这种系统称为线性时不变系统。现将上式写成两个积分之和，则为：
对上式右端的积分作变量置换，令t一?＝λ，则得：
可见，若把 t看作现在的时间，则输出O（t）是由两部分组成的：第一部分是由t以后时间所有输入信息反映出O（t）的；第二部分则是由t以前时间所有输入信息反映输出O（t）的。显然，后者表示“记忆”，前者表示“预测”。 在实际应用时，首先要通过对输入、输出的分析，从而确定描述系统物理实体特征的参数，即用I（t一?）和O（t）
的资料求得权函数w（?）。然后便可以用来预测，即当任意给定一个输人时，利用所确定的模型来求出输出的预测值。由于无需了解物理实体的具体结构，所以这种模型也称为“黑箱”模型。
运用系统理论来解决水文地质问题时，最典型的是用来预测大型泉（特别是一些岩溶泉）水的流量。把整个泉域的蓄水岩体视为系统的物理实体，补给泉的大气降水便是系统的输入，泉水流量便是系统的输出。如果含水体的体积较大，含水层的厚度可视为不随时间而变的，则可认为含水体的特征函数是不随时间而变化的。于是可将泉域的蓄水体连同其降雨补给量和泉流量看成是一个线性时不变的单输入、单输出的集中参数系统。
大气降水是一个随时间变化的不连续的脉冲函数，通过泉域含水体这个“转换装置”的调节作用，由泉口流出的水量却是一个随时间变化的连续函数。
设输入（降雨量）U (t)，输出（泉流量）为Q（t），则描述这个水文地质系统的方程为：
这是一般的方程，通过实际物理意义的分析可以简化。因为某一时刻（t）的泉流量仅与该时刻以前一定时期的降雨量有关，更早时期的降水补给量已经通过泉口全部流出，对该时刻的泉流量已无影响。而t时刻以后的降水还没有发生影响。也即当λ＜0和λ＞t时，U（t）＝0，于是上述方程可
简化为：
在实际计算时，可以将积分离散化，得：
作变量置换，令t一λ＝?，则可写作： 如果我们以月为单位，把各月的降水和泉流量按时间顺序分别排成两个序列来分析一下降水形成泉水的过程，则第t
月的降水形成的地下径流，或立即就可到达泉口流出，或滞后在t十k（k≥0）月才到达泉口开始流出，一直到t十n月才全部流完，共经过了n一k十1个月（这里k和n均为整数，且n＞k≥0）。因为第t一（n十1）月以前的降水所形成的地下径流已通过泉口全都流出去了，而第t一k月，t一（k十1）、??，一直到第t—n月的降水所形成的地下径流正在向泉口流动，并决定着泉流量的大小。因此，上式应改写为求第t月泉流量的公式：
上式说明，第t月的泉流量Q是由第t一n月降水（Ut－n）所形成的部分径流量（Ut－nWn），一直到第t一k月降水（Uk－t）所形成的部分径流量（Ut－kWk）逐一迭加组成的。从这里可以看出，Qt是Ut－n，Ut－n－1，??，Ut－k的加权平均，而权分别是Wn，W n－1，??，Wk。这也说明了系统的权函数或权序列这个名称的由来。由于Qt与Ut 的单位不同，故Wn，W n－1，??，Wk并不含有百分数的意义。
这个公式就是用来描述泉域含水体这个“转换装置”的数学模型，可利用它来预测泉的流量和评价大中型供水井区的地下水资源，以及预测矿井涌水量。
在实际运用时，首先根据输入Ut（大气降水）与输出Qt（泉流量或开采量或矿井涌水量）的实际观测序列，识别系统即确定权函数或权序列W?。确定的方法就是根据最小平方准则，即要求计算与实测的误差总和为最小，用电子计算机解权序列的线性方程组便可得到。有了权函数，便可用该系统来进行预报。用一个例子来说明其具体方法。 2．实例
河北省邯郸地区南单元的岩溶水从黑龙洞泉群排泄，泉域如图10一10所示。西安煤研所和武汉地质学院应用系统理论法对黑龙洞泉群进行了具体计算与分析。其步骤如下： 第一步：进行条件分析：
泉流量和降水量的多年观测结果表明，泉群流量的变化规律与降水量的变化规律有明显的一致性。但泉流量峰值出现的时间滞后于雨季1一2个月。这说明岩溶蓄水盆地对降水补给的地下水有调节作用。丰水年补给充沛，使泉流量增大，
其影响可达三年之久。通过水文动态分析和泉水流量自然消耗计算，一次补给的地下水，需要两年半至三年的时间才能基本泄尽，即一次降水对泉流量的影响可达30—36个月。 根据水文地质条件和系统理论的要求，可认为本单元具有三个特点：（1）单元外的大气降水对黑龙洞泉流量没有影响，也无其他水源补给，可以认为是一个单输入；（2）岩溶含水层向东埋深大于1000m，径流迟缓，故可基本视为泉水排泄的单输出；（3）灰岩分布面积广，厚度大，多属承压水性质，可认为含水体处于定常状态，特征函数是时不变的。
于是，可将黑龙洞泉群的储水盆地连同补给排泄视为一个线性时不变的单输入、单输出的集中参数系统。
第二步：对降水量、泉流量实测资料的处理：在本泉域范围内有十多个水文气象站，取其中有代表性的五个站资料的算术平均值。据当地情况，把三日连续降水量在20mm和两日10mm以上者定为“有效降水量”（即有能力补给灰岩地下水的降水量），从而得出各站的逐月降水量，再求平均值
用于计算。非有效降水量作零处理。
本区地下水埋深一般在30m以上，故可不考虑地下水的
蒸发消耗。但人工开采量应考虑，计算时给于适当处理。 第三步：确定权序列：用最小平方估计准则确定，即： 式中： N––––观测数据的个数，且N≥n＞k≥0；
Qt计––––计算出的t时刻泉流量； Qt测––––实际测得的t时刻泉流量。
于是得到权序列W的线性方程组： 式中：
解此线性方程组，就可以得到权序列Wk，Wk＋1，??，Wn。这是最小平方估计意义下的最优权序列。利用它即可用任意给定的权序列长度m（m＝n一k十1）个月的有效降水量资料，按前述流量预测公式： 就可算出泉群的预测流量来。 第四步：权序列长度的确定：