变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
A
E H
D B G F
C
例3四棱锥P?ABCD的底面ABCD是平行四边形，点E,F,G,H分别为?PAB,?PBC,?PCD
?PDA的重心.
例4 H为四棱锥P?ABCD的棱PC的三等分点，PH?12四边形ABCD是平行四边形，若G,B,P,D四点共
HC,点G在AH上，AG?mAH，
（1）试用向量法证明四点E,F,G,H共面. （2）判断平面EFGH与平面ABCD是否平行，
并用向量法证明你的判断.
变式：已知斜三棱柱ABC?A1B1C1,点M,N分别在
?面，求实数m的值.
???变式：PA,PB,PC
是不共面的三个向量，若实数k1,k2,k3满足
????AC1?和
?BC?上，且满足
k1PA?k2PB?k3PC?0,求k1,k2,k3的值.
AM?kAC1,BN?kBC,(0?k?1)，求证：
???MN与向量AB,AA1共面.
72
??????????????11.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2,
课后作业： 1. 在平行六面体
??????????D1C、A1C1?????ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、
??????????????????AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证：A,B,C,D共
面．
是（ ）
12．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1
→
的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N→→
与A1B、A1M共面．
A. 有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量.
2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( )
A．共面 B．不共面C．共线 D．无法确定 3. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.
A．0 B.1 C. 2 D. 3
4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( ) →→→→→1→1→1→A.OP＝OA＋OB＋OC B.OP＝OA＋OB＋OC
333
→→1→1→
C.OP＝－OA＋OB＋OC D．以上皆错
22
5. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面
????????????????''A'B'C'D'的中心，若BB?xAD?yAB?zAA,
则x＝ ，y＝ ，z＝ .
6. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，
????则OP?
7. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D
????????????????1 的交点,则(AB?AD?AA')? AO.
313．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝
1－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面． 8．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝2
i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.
9.已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足
????1????2????2????A,B,C条件OP?OA?OB?OC，则点P与
555
(是否)共面 三、解答题 ????????10. 若a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp， ???? a?0，若a//b，求实数x,y.
14．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b
－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，
q，r是否共面？
+ .
73
????OA ????OB
例2 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，
AB?4,AD?3,AA'?5,?BAD?90?,?BAA'?DAA'=
=60°,求AC'的长.
§3.1.3．空间向量的数量积
学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 自我评价 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，
??????????aOB,b?，在空间 一点O，作OA?则?AOB??做向量a与b的夹角，记作 .
??叫
2) 向量的数量积：
变式：在正四面体ABCD中，棱长为a，M,N分别是棱AB,CD上的点，且
???????已知向量a,b，则 叫做a,b的数量积，
????记作a?b，即a?b? .
MB?2AM,CN?12??ND,求MN.
规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 3) 空间向量数量积的性质：
??????（1）设单位向量e，则a?e?|a|cos?a,e?． （2）a?b?a?b? ．
??（3）a?a? ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
??????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． （2）a?b?b?a（交换律）．
???????（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律
例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB?2，
?BC?3，BD?23，CD?3，?ABD?30，
??ABC?60，求AB与CD的夹角的余弦值 D
A C
B 变式：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若
???????? 例
在空间四边形OABC中，
?AO?B?BO?C?AO,且COA?OB?OC
G是MN的中点，, M,N分别是OA,BC的中点，
3
求证：OG?BC
AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
变式：在空间四边形OABC中，M,N，P,Q分
别为BC,AC,OA,OB的中点，若AB?OC,求证：
74
PM?QN
中，AA1?2AB，则异面直线BE与E为AA1中点，
CD1所成的角的余弦值为（ ）
A.
1010 B.
15 C.
31010 D.
35
课后作业： 1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向
量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( ) →→→→A.AE·BCAE·CD
→→→→ D.AE·BC与AE·CD不能比较大小 3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，→→→→→
设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则〈A′B，B′D′〉＝( ) A．30° B．60° C．90° D．120°
4．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．62 B．6 C．12 D．144
5．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝( )
A．14 B.14 C．4 D．2 6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOCπ→→
＝，则cos〈OA，BC〉等于( ) 3
121
A. B. C．－ D．0 222
7．在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是( )
→→→→→→A．|AB＋AC＋AD|＝|AB＋AC－AD|
→→→→→→B．|AB＋AC＋AD|2＝|AB|2＋|AC|2＋|AD|2
→→→→C．(AB＋AD＋AC)·BC＝0 →→→→→→D.AB·CD＝AC·BD＝AD·BC
→→
8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC
→→→→＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 9.（2009全国Ⅱ） 已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1
75
10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为
→→→
1，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则
→→→→(1)AC′·DB′＝________；〈AC′，DB′〉＝
→→
________；(2)BD′·AD＝________.
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则→→A1B·B1C＝________.
12．已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，→→OB⊥AC，则AB·OC＝________.
13．如图所示，已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．
14. 已知空间四边形ABCD中，AB?CD，
D AC?BD，求证：AD?BC.
A C
B
15. 已知线段AB、BD在平面?内,BD⊥AB, 线段AC??,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.
⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ；
⑷a·b＝ .
典型例题
?????例1已知?e1,e2,e3?是空间的一个基底，且
??????????§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理
和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
OA?e1?2e2?e3????，OB??3e1?e2?2e3，
?????OC?e1?e2?e3,试判断?OA,OB,OC?能否作
??为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量
????OD?2e1?e2?3e3，若不能，请说明理由.
复习1：平面向量基本定理： ?????对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两个
向量，总
?????
是存在 实数对?x,y?，使得向量P可以用a,b来
??? 表示，表达式为 ，其中a,b叫
????
做 . 若a?b，则称向量P正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量
??????i,j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对变式：已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量
自我评价 ???实数x，y，使得a?xi?yj，，则称有序对?x,y?
??为向量a的 ，即a＝ .
?⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均
?????????可分解为不共面的三个向量?1a1、?2a2、?3a3，???????????????????使a??1a1??2a2??3a3. 如果a1,a2,a3两两 ，
????????a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量p?a?b, ???q?a?b构成空间的另一个基底？
???(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c ，
??对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得
????????p?xa?yb?zc. 把 的一个基底，a,b,c都叫做
这种分解就是空间向量的正交分解.
基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个. ⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得
????a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a
??的坐标，记着p? .
????⑸设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .
例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC
????????????OA,OB,OC 的中点，P,Q是MN的三等分点，用
????????表示OP和OQ.
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 ⑴a＋b＝ ；
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