变式：已知直三棱柱ABC─A1B1C1的侧棱AA1?4,底面△ABC中, AC?BC?2，且?BCA?90?,E是AB的中点,求异面直线CE与AB1的距离. 课后作业 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
3213A. B. C. D. 2423
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是( )
1360
A．5 B. C. D．8
213
3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD间的距离为( )
3333A.a B.a C.a D.a 2244
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
23
A.2 B.3 C. D.
33
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在
AM1
AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为
MC12
( )
2161515A.a B.a C.a D.a
6663
6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A.2 B.3 C．2 D.5 7．△ABC中，∠C＝90°，点P在△ABC所在平面外，PC＝17，点P到AC、BC的距离PE＝PF＝13，则点P到平面ABC的距离等于( )
92
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影的比为3?5，则α、β间的距离为( ) A.5cm B.17cm C.19cm D.21cm 9．矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则P到BC的距离为________． 10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
11．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
12. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，异面直线A'B和CB'所成角是 ；
13. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，两个平行平面间的距离是 ；
14. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，异面直线A'B和CB'间的距离是 ； 15. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，点
''''O是底面ABCD中心，则点O到平面A'CDB'的距离是 . 16．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1； (2)求点C到平面AB1D的距离．
17．如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD＝a，点M，N分别是BD，AC的中点． (1)求证：MN⊥BD；
(2)若AB与CD所成的角为60°，求MN的长．
18．如图所示，已知边长为42的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离． 19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
§第三章 空间向量（复习）
学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. (1)证明：D1E⊥A1D； (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
π
(3)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为.
4
93
自我评价 复习1：如图，空间四边形OABC中，
???????????????OA?a,OB?b,OC?c.点M在OA上，且OM=2MA,
?????N为BC中点，则MN?
?????复习2：平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，AB?a
??????????'AD?b,AA?c，点P,M,N分别是CA',CD',C'D'
的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'?4:1,用基底
???a,b,c表示下列向量：
?????????????????⑴ AP; ⑵ AM ; ⑶ AN; ⑷ AQ.
??
※主要知识点：
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断
②角与距离的计算
变式：如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别在BB1,DD1上，且AE?A1B,AF?A1D. ⑴ 求证：A1C?平面AEF;
典型例题
例2 如图，在直三棱柱ABC??ABC?90?,CB?1,CA?21,AA?1A1B1中C，
,点6M是CC1的
中点，求证：AM?BA1.
变式：正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MN?AB.
例3.（2011福建）如图甲，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，四边形ABCD中，AB?AD，
AB?AD?4，CD?2，?CDA?45?． （Ⅰ）求证：平面PAB?平面PAD； （Ⅱ）设AB?AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30?，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由．
时，求平面AEF与平
面D1B1BD所成的角的余弦值.
?3,AA1?5⑵ 当AB?4,AD例4:如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．
（Ⅰ）当CF?1时，求证EF?A1C；
（Ⅱ）设二面角C?AF?E的大小为?，tan?的最小值．
A1 C1
B1
A C
E
B
变式：如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
12
94
PD。
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q-BP-C的余弦值。
课后作业 1．已知非零向量a、b，及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是b所在直线平行于α或在α内的( )
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 2．下列说法中不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
3．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是( ) →→→→A.DA·PB＝0 B.PC·BD＝0 →→→→C.PD·AB＝0 D.PA·CD＝0
4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )
12222A. B. C. D. 3323
5．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
95
111
A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2
232
6. 在正三棱柱ABC－A1B1C1，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小( ) A．60° B．90° C．105° D．75°
7．在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是( )
→→→→A.OM＝2OA－OB－OC →1→1→1→B.OM＝OA＋OB＋OC
532→→→
C.MA＋MB＋MC＝0 →→→→D.OM＋OA＋OB＋OC＝0
8．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则( )
A．Q为CD的中点 B．Q与D重合 C．Q与C重合 D．以上都不对 9．如图，空间四边
→→→
形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA
1→
上，且OM＝MA，N为BC中点，则MN等于( )
2121A.a－b＋c 232
111B．－a＋b＋c
322112C.a＋b－c 223221D.a＋b－c 332
10．如图ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错．误的是( ) ．
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1
所成的角为60°
11．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，→→
则AC与AB的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
12．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6 13．过二面角α－l－β内一点P作PA⊥α于A，作PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α－l－β为________．
14．若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为________．
15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．
16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________．
17．若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．
18．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一→→
点，BG＝2GD，PA＝a，PB＝
→→b，PC＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG.
19．如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．
求证：PQ∥平面ACD.
96
20已知空间三点A(0,2,3)，B(－2，1,6)，C(1，－→→
1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB、AC垂直，求向量a.
21．如图，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC′上是否存在一点N，使得MN⊥AB′？若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．
22．(2010·重庆)如图，四