棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD＝3，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．
第三章综合能力检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中的真命题有( )
→→→→
①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量 →→→→
②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量 →→→→→→→③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋→
OD1是一对相反向量
→→→→
④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量 A．1个 B．2个C．3个 D．4个
2．若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A．(a·b)c＝(b·c)a B．a·b＝－|a|·|b|，则a∥b C．a·c＝b·c，则a∥b D．a·a＝b·b，则a＝b 3．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，→→→
AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( ) A．相交 B．垂直C．不垂直 D．成60°角
4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为( ) A．(－1,1,1) B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)
97
111111
C．(－，，) D．(－，，)或(1，－1,1)
222222
5．下面命题中，正确命题的个数为( ) ①若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2
?α∥β；
②若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，b、c是α内两不共线向量a＝λb＋μc，(λ，μ∈R)则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
→
6．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则AO1→→→
＝(AB＋AC＋AD)是O为△BCD重心的( ) 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
7．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是( )
122??－1，2，－2? A.?，－， B.?3?3333?3?112122122C.?，－，? D.?，－，?或?－，，－? ?333??333??333?8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F
21
分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则
33
( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF是A1D，AC的公垂线
C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是
→→→→
侧面CDD′C′的中心，若AF＝AD＋xAB＋yAA′，则x－y等于( )
11
A．0 B．1 C. D．－
22
10．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C是线段AB上一
AC1
点，且＝，则C点的坐标为( )
AB3715??8，－3，2? A.?，－， B.?2?3?22?107??5，－7，3? C.?，－1， D.?3?23?22?11．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
12．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
5553511A. B. C. D. 5555
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，则a·c＋b·c＋a·b＝________.
14．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，
→→→
存在三个不为零的实数λ、m、n使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．
15．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．
16．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为______．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－
→→→
A′B′C′，设AB＝a，AC＝b，AA′＝c，在面对
→
角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使AM＝→→→→
kAC′，BN＝kBC(0≤k≤1)，求证：三向量MN、a、c共面．
18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
98
19．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1. (2)求证：AC1∥平面CDB1
(3)求AC1与BC1所成角的余弦值． 20．(本小题满分12分)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离； (2)M到平面AB1P的距离．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD
中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝
1
90°，AB＝BC＝AD.
2
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
1
(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面
3
直线AE与PB所成的角．
22．(本小题满分14分)(09·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
(1)证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)求二面角B－FC1－C的余弦值．
99
本册综合检测一
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2
＝2相切”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．设直线l1、l2的方向向量分别为a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则直线l1、l2的夹角是( )
15210A．arccos B．π－arcsin
151521015
C．arcsin D．arccos(－) 1515
3．(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆
22
(x－3)＋y＝16相切，则p的值为( ) 1
A. B．1 C．2 D．4 2
y22
4．设P为双曲线x－＝1上的一点，F1，F2是
12
100
该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则ΔPF1F2的面积为( )
A．63 B．12 C．123 D．24 5．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B是A的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[－3,3] B．[3，＋∞) C．[0,3] D．(－∞，3]
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运
→
算的结果为向量BD1的是( )
→→→→→→①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；
→→→→→→③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1. A．①② B．②③ C．③④ D．①④
π
7．(2010·上海)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”
4
成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是( ) 1512A. B. C. D. 2532
9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于( )
A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2
10．如图，在正三棱锥P—ABC中，D是侧棱PA的中心，O是底面ABC的中点，则下列四个结论中正确的是( )
A．OD∥平面PBC B．OD⊥PA C．OD⊥AC D．PA＝2OD 11．已知正方体ABCD－
→→
A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若AE＝zAA1
→→
＋xAB＋yAD，则x＋y＋z的值为( )
33
A．1 B. C．2 D. 2422
12．双曲线x－y＝1的左焦点为F1，点P在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF1的斜率为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．
14．如图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．
x2y2
15．椭圆＋＝1上有n个不同的点P1，P2，??，
43
1
Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于
100
的等差数列，则n的最大值为________．
x2y2
16．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互
94
相垂直的双曲线方程为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知△ABC，A(－2,0)，B(0，
2
－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
18．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．
(1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
x2
19．(本小题满分12分)设双曲线C：2－y2＝1(a>0)
a
与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
101
→5→
(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA＝PB，求a
12
的值．
20．(本小题满分12分)已知条件p：|5x－1|>a和条
1
件q：2>0，请选取适当的实数a的值，
2x－3x＋1
分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：若A则B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，面A1ACC1⊥面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C，求侧面A1ABB1