变式：已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点G
????????????????'''OC?b,OO?c是侧面BBCC的中心，且OA?a，
???试用向量a,b,c表示下列向量: ?????????????????⑴OB',BA',CA'; ⑵ OG.
变式 已知正四面体ABCD棱长为a，试建立适当的坐标系并表示出各个点的坐标. ?????1. 若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项
课后作业 ，
??中，能构成基底的是（ ）
?????aA.,a?b,a?b B. ?????C. c,a?b,a?b D.
?????b,a?b,a?b ??????a?2b,a?b,a?b
例3 PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点，并且PA?AB?1,试建立
?适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标.
77
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
→→
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
→→
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝
→→
2j，AA1＝5k，则AC1( )
111
A．i＋j＋k B.i＋j＋k
325
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k 4．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空
→
间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，→→
BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 5．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
→→→
②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是( )
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确 6．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标
→
向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定
7．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G
→→→
是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB
→
＋zOC，则(x，y，z)为( )
111333A.?，，? B.?，，? ?444??444?111222C.?，，? D.?，，? ?333??333?8. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z，则点B的坐标是
9. 在三棱锥OABC中，G是?ABC的重心（三条中
????????????线的交点），选取OA,OB,OC为基底，试用基底表????示OG＝ ?????????????坐标原点，以AB,AD,AA'
16．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：
???????轴正方向的单位向量，且AB??i?j?k
→→→→(1)BD′＝xAD＋yAB＋zAA′. →→→→(2)AE＝xAD＋yAB＋ zAA.
17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1.选取恰
→→
当的基底求向量MN、DC的坐标．
10. 正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为2，以A为为x轴、y轴、z轴正方
向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .
11. 已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________． 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．
→→→
13．在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝
→
c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.
14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC
→→→→
中点，以{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为________． 15．如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，→→→
且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.
18．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
12
E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝
33
DD1.
→→
(1)用a，b，c表示向量OB′，AC′.
(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和
→
O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH.
78
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
→→→→
(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．
??变式：设向量a?(2,1,6)，b?(?8,?3,2)，计算：
????2a?3b，3a?4b，
12??a?b
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题.
例2：已知?ABC的顶点坐标分别为A（-2,0,2）B
??（-1,1,2），C(-3,0,4)且满足(kAB?AC)?
??(kAB?2AC),求实数k的值.
自我评价 1. 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，则｜a｜＝
2. 两个向量的夹角公式： ????设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)， 变式：设a?(1,2,?1)，b?(?2,3,2)，若(ka?b)
??由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，
//(a?3b),求实数k的值. 又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，
由此可以得出：cos＜a,b＞＝
① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；
② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角
是 ；
③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，
例3. 如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E1,F1即a与b的位置关系是 ，用符合表示
分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所
为 .
成的角的余弦值． 3.设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则
⑴ a//B. ? a与b所成角是 ? a与b的坐
标关系为 ； ⑵ a⊥b?a与b的坐标关系为 ；
4. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点A(x,y,z)，111
B(x2,y2,z2)，则线段AB的长度为：
222 AB?(x2?x1)?(y1?y2)?(z1?z2).
5. 线段中点的坐标公式： 在空间直角坐标系中，已知点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标
为: .
典型例题
???? 例1 已知a?(2,?1,?2)，b?(0,?1,4)，求a?b， ?????????? a?b，a?b，2a?(?b)，(a?b)?(a?b)
变式：如上图,在正方体ABCD?1A1BC中，D 11
79
B1E1?D1F1?A1B13，求BE1与DF1所成角的余弦值．
例4. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF?DA1.
变式：如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值.
80
课后作业 1. 若a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则
??a1b1?a2b2?a3b3是a//b的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不不要条件
2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a b则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60° C．30° D．0° 3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1 C．10 D．11 4．下列各组向量中共面的组数为( )
①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)
②a＝(1,2，－1)，b(0,2，－4)，c＝(0，－1,2) ③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1) ④a＝(1,1,1)，b(1,1,0)，c＝(1,0,1) A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列各组向量不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
6．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，
→
2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25] 7．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( ) A．x<－4 B．－4
,1,?1,OA??OB与OB的夹8. 已知A?1,0,0?,B?0?????????????角为120°，则?的值为（ ） A. ?66 B.
66 C. ?66 D. ?6
9．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD
1→
－A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1，则BE1等于
4
( )
11
A．(0，，－1) B．(－，0,1)
4411
C．(0，－，1) D．(，0，－1)
44
10．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
11
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
32
1
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
4
11．如图AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为( )
2ππ B．arctan2 C. D. 232→→
12．已知向量OA＝(2，－2,3)，向量OB＝(x,1－y,4z)，
3
且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，2
1
－)，则(x，y，z)＝( ) 2
A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1) C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1)
????13. 已知a??2,?1,3?,b???4,2,x?，且a?b，
A．arctan
则x＝ .
14．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________. 15．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，→→
则AB与CA的夹角θ的大小是____________．
16．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，－3,0)，c＝(7，－2，1)，则：
(1)a＋b＋c＝________；(2)(a＋b)·c＝________； (3)|a－b＋c|2＝________.
17．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝__________________.
18．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，
→→→
是否存在实数x，使AB与AB＋xAC垂直？
81
19．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．
求证：(1)AE⊥D1F； (2)AE⊥平面A1D1F.
20．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－
→→
3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.
→
(1)设|c|＝3，c∥BC，求c.(2)求a与b的夹角． (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
21. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M,N分别为棱A1A,B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值.