9.
??设u???2,2,5?,v??6,?4,4?分别是平面?,?的
法向量，则平面?,?的位置关系是 . 10．在直角坐标系O—xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． 11．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
→→→如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，
→
－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是
→→
平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．
?????12. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：DB1是平
面ACD1的一个法向量.
13．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC.
14．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证ABCD是矩形．
87
15．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1； (2)求证：BC1∥平面CA1D.
16．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定
点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.
§3.2立体几何中的向量方法（2）
学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
自我评价 1. 用空间向量表示空间线段，然后利用公 式 求出线段长度.
2. 叫二面角，二面角的大小
3. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式 求解.
典型例题 例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱
长有什么关系？
88
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于?, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?
变式3：如图，已知线段AB在平面α内，线段AC??，线段BD⊥AB，线段DD'??，
??DBD'?30，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC,BD分别为a,b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.
变:1：如图，60?的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB?4,AC?6,BD?8,求CD的长.
变式2：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角.
例3 （2011北京）如图，在四棱锥P?ABCD中，
PA?且?DAB?600,PA?PD?2,PB?2,
E,F分别是BC,PC的中点， （1）证明：AD?平面DEF;
（2）求二面角P?AD?B的余弦值. 平面ABCD，底面ABCD是菱形，
?AB?2,?BAD?60.
(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;
课后作业 1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90° 2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )
1232A. B. C．－ D. 3333
3.正方体ABC?D'A'B'C中D棱长为a，
??????1????'AM?AC3（Ⅱ）若
PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
变式1：（2011广东）如图，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
89
,N是BB'的中点，则MN为（ ）
66aA.
216a B. C.156a D.153a
4. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱A'B',BB'的中点,那么直线
AM,CN所成的角的余弦为（ ）
ABCD?A'B'C'D'A.
32 B.1010 C. D.
5325
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( ) A．(0°，90°) B．90°C．120° D．(60°，120°) 6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．30° 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
2533 B. C. D. 3436
8．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是( )
1133A. B. C. D. 2332
9．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，
1
沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，这时二
2
面角B—AD—C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90° 10．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．
A.
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．
15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．
12．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝
1
BC＝1，AD＝，则SC与平面
2
ABCD所成的角的大小为________．
13．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.
90
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的大小．
16．(2010·湖南)如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
变式1：如图,ABCD是矩形,PD?平面
,PD?DC?a,AD?2a,M、N分别是ABCDAD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.
P
N
D C
M A
B
§3.2立体几何中的向量方法（3）
变式2：已知?ABC是以?B为直角的直角三角形，SA?平面ABC，SA?BC?2,AB?4，M.N,D分别是SC,AB,BC的中点，求A到平面
SND的距离.
学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用. 自我评价 1.用向量求点到平面的距离的方法：
设A??,空间一点P到平面?的距离为d,平面?的一个法向量为n，则
2.两条异面直线间的距离公式 典型例题 例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
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?
例2 如图，两条异面直线a,b所成的角为?，在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使得AA'?a,且
AA?b.已知AE?m,AF?n,EF?l，求公垂线AA'''
的长.