第一节 边端问题集锦
一、 植树问题
植树问题的核心法则是：1.段数=总长/株距 2.线性植树
（1）单边植树 棵树=段数+1
（2）双边植树 棵树=2（段数+1）
（3）两条不相交的路（已知总长） 单边植树=段数+2 双边植树=2段数+4 3.楼间植树
（1）单边植树 棵树=段数-1
（2）双边植树 棵树=2（段数-1） 4.环形植树
（1）单边植树 棵树=段数 （2）双边植树 棵树=2段数
其实，对于线性植树，楼间植树，环形植树的理解和运用是基础，而最核心的公式是段数=总长/株距，从而建立起棵树，段数，总长的关系。 题型举例：
1) 【例题】在一块洼地周围的大坝上每隔8米种柳树1棵，共种了1075棵柳树。现在要在每两颗柳树之间每隔2米种1株木槿。那么种的木槿一共有多少棵?（ ）
A.3222 B.3225 C.3226 D.3230 解析，这里首先要读懂题目，那就是在洼地上植树，洼地即是环形，这一点对解题很重要。因为，每两颗柳树之间每隔2米种1株木槿，所以根据楼间植树的原理，那就每两棵柳树之间有3棵木槿，即棵树=8/2-1.那么只要求出栽种的柳树的段数就可以得结果，应为这是洼地植树，段数=棵数=1075，所以木槿的数目=1075*3=3225
（2）某市一条大街长7200米，从起点到终点共有9个车站，那么每两个车站间的平均距离为( )
解析，已知量： 总长，棵树（站点），线性植树 中间量：段数
未知量： 株距（平均距离）
这里关系式通过段数建立起来的，因为株距=总长/段数，而段数=棵树-1=9-1=8，所以株距等于7200/8=900米。
（3）一块三角地，在三个边上植树，三个边的长度分别为156米，186米，234米，树与树之间的距离为6米，三个角上都必须在上树，问共需多少树（） 解析 ，已知量：环形植树，总长，株距， 中间量: 段数
未知量：棵数 利用公式，棵树=段数 段数=总长/株距 因此由上得到，段数=（156+186+234）/6=96
（4）有两座塔间距140米，两塔之间每隔20米种1棵树，则共有多少棵树（） 解析，已知量：塔间植树，总长，间距， 中间量：段数 未知量 ：棵数
所以，段数=140/20=7，那么棵树=段数-1=6
（4）为了把2008乃北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）的两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路的长度的2倍还多6000米，若每隔4米在一棵树，则少2754棵树，若每隔5米栽一棵树，则多396棵，则共有树苗多少棵（）
解析，已知量：总长，株距，线性植树双边植树 中间量：段数 未知量： 棵树
这个题看起来是比较复杂的，设路的总长度是L,那么一条路两旁植树的棵树就是2（段数+1），另外一条路也是2（段数+1），因此两条路棵树为2段数+4，这里不是4段数+4的原因是，刚才所列的段数是单条路来说的，但是我所设的是两条路的总长度为L，所以这样得来的段数不同样上面的段数因此，应该是2段数+4，由此可以得到方程，那就是L/4*2+4=棵数+2754，L/5*2+4=棵数-396，从而得到棵数。 二、 方阵问题
方阵问题的核心法则，1.人数公式： N层实心方阵的人数=N^2(N的平方) 2.外周公式，N层方阵最外层人数，四边形的方阵=4（N-1），三角阵=3（N-1），五边形的=5（N-1），注意其变形，外围数/4+1=层数 典型例题
（1） 某学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有多少人（） 解析，已知量：方阵，外层人数， 中间量：方阵的层数N 未知量：N的平方，方阵人数
所以，外围人数=4（N-1）=60 得到，方阵的层数是16，所以方阵人数=256 （2） 小红把平时节省下来的全部5分的硬币先围成一个正三角形，正好用完，
后来又该围成一个正方形，也正好用完，如果正方形的每一条边比三角形少用五枚硬币，则小红所用硬币总价值是多少（）
解析，已知量：三角阵，方阵，
中间量：层数相同 未知量：总数（外围数） 设总数为N，那么得到N/3+1-5=N/4+1 从而得到 N=60,当然这个题目也可是利用边上的关系列出方程，也可以通过整除特性法直接得到结果。 三、 渡河问题
渡河问题的核心法则，1.M个人过河，船上载有N个人，由于1个人需要划船，所以共需渡河M-1/N-1次。 2.过一次河指的是单程，“往返一次指的是双程，单程可渡河人数=N-1 3.载人过河时，最后一次不用在往返 渡河问题典型例题
（1）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人，往返一次需要5分钟，如果9点钟开始渡河，9时17分，至少还有多少人等待渡河（） 解析，已知量：渡河人数，船上载人数，往返渡河所需时间 未知量：渡河次数
其实，因为往返一次需要五分钟，九点开始渡河，那么十五分钟往返三次，也就第四次单程正在河上每次渡河3人，所以已经有九人已经渡河了，现在还有四个人在船上，因此，现在还有32-13=19人在等待渡河
第二节 抽屉原理问题集锦
一、 抽屉原理的的核心法则，是采用最不利原则，即设想出一种极端情况来解
决。 1. 扑克牌问题（核心法则）
A. 扑克牌有54张牌，4种花色，每种花色13张，2张王是关键不要忘记 B. 扑克牌的抽屉问题就是各种花色总抽出N-1张，便可保证至少有N张牌花色一致 （1） 从一副完整的扑克牌中，至少抽出（）张，才能保证至少6张牌花色相同。 解析，关键词:至少
运用抽屉原理，那就是设想出一种极端的情况，那就是每一次抽取的花色都不相同，也就是从各种花色抽出5张，一共抽出4*5=20然后还有两张王，即22张，那第六张肯定是同一花色，至少抽出23张才能保证至少六张花色相同。 （2）一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌能保证有4张是同一种花色的?（ ） A.12 B.13 C.15 D.16 解析，关键词：最少
运用抽屉原理，设想一种最不利的情况，那就是从各种花色中抽出三张，也就是3*4=12还有两张王，也就是14张，所以最少抽出15张才能保证至少4张花色一致。
3) 有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒（） 解析，关键词: 至少
运用抽屉原理，先从各色珠子中各摸出一粒，就是四粒，然后再摸出一粒，即5粒便能保证至少两粒颜色一致。
（4）一只袋子里装有44只玻璃球，其中白色的2只，红色的3只，绿色的4只，黄色的5只，棕色的6只，黑色的7只，蓝色的8只，透明的9只。如果每次从中取球一个，那么要得到2只同色的球，最多要取几次?（ ）