61
∴P(甲得1分)＝＝.
122(2)不公平． 1
∵P(乙得1分)＝，
4
∴P(甲得1分)≠P(乙得1分)，∴不公平．
考点3 用频率估计概率 ① 随着试验次数的增加，频率会呈现出一定的稳定性，在某个特定数频率与概率 值P的左右摆动，P就是概率；②频率是在试验的基础上得出的，而概率是可以通过计算得出的 概率是通过大量重复试验根据频率的稳定性得到的一个介于0和1之概率与事件 间的常数，它反映了事件发生的可能性的大小
8.一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用的方法如下：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，??，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有( )
A．18个 B．15个 C．12个 D．10个
[解析] 由题意知摸到黑球的频率是
201
＝，通过多次试验，摸到黑球的1005
1
频率与摸到黑球的概率比较接近，可知摸到黑球的概率是.可设口袋中有白球
5
x个，则根据概率的计算公式有
31
＝，解得x＝12. 3＋x5
16
9．“六一”期间，某公园游戏场举行游戏活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的袋中，随机摸一个球，摸到红球就得到一个玩具．已知参加这种游戏活动的有40000人，公园游戏场发放的玩具为10000个．
(1)求参加一次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球接近多少个？
1000011
解：(1)＝，所以参加一次这种游戏活动得到玩具的频率为.
4000044
(2)因为试验次数很大，多次试验时，频率接近于理论概率，所以估计从
1
袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为4.设袋中白球有x个，根据题意得61
＝，解得x＝18，经检验x＝18是方程的解． x＋64
所以估计袋中白球接近18个.
【天津中考热点问题】
? 热考一 概率的有关概念
例(1)有两个事件，事件A：同年出生的367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是( )D
A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
(2)下列试验中，概率最大的是( )A
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率
B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别刻有数字1－6)，掷出的点数为奇数的概率
C．在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为方块的概率
D．三张同样的纸片，分别写有数字2，3，4，和匀后背面向上，任取一张恰好为偶数的概率
17
? 热考二 概率的求算方法
(1)从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数字，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是( )B
1152A. B. C. D. 43123
(2)下列试验中，概率最大的是( )D
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率
B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别刻有数字1－6)，掷出的点数为奇数的概率
C．在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为方块的概率
D．三张同样的纸片，分别写有数字2，3，4，和匀后背面向上，任取一张恰好为偶数的概率
1
(3)在－1，0，，1，2，3中任取一个数，取到无理数的概率是
3________．1/3
(4)在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图33－2所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为________．3/4
图33－2
(5)将背面完全相同，正面上分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
①请你用画树形图或列表的方法，求这两数差为0的概率； ②小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
18
解：①画树形图如下：
或列表如下： 1 2 3 4 0 1 2 3 －1 0 1 2 －2 －1 0 1 由图(表)知，所有可能出现的结果有12种，其中差为0的有3种， 所以这两数的差为0的概率为：P＝
3
②不公平．理由：P(这两数的差为非负数)＝，
4331
即P(小明赢)＝，则P(小华赢)＝1－＝，
444
∴P(小明赢)＞P(小华赢)，
∴不公平．
游戏规则：若这两数的差为正数，则小明赢；否则，小华赢
31＝. 124
1 2 3 19
【天津三年中考一年模拟热身训练】
1．[天津] 袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋中随机的摸出1个球，则它是红球的概率是________．5/8
2．[红桥二模] 一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5.从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．
问：(1)按这种方法能组成哪些两位数？
(2)十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？ 解：(1)画树形图如下：
20