名。在中学数学中，数、量、点、直线、平面、集合等都是原名。
三、概念的划分:将一个概念所指的事物，按着某种属性分成若干小类，也就是将一个属概念分成若干种概念.
划分与把整体分成部分是不同的。 划分遵循规则：（1）划分后的各子项应互不相容——不重；（2）划分后各子项必须穷尽母项——不漏；（3）每一次划分必须遵循同一标准——标准唯一。
二分法是将被分概念一贯地、逐次地分成两个矛盾概念，一直到不能再分为止。它是一种非常重要的划分方法。 一、判断的意义
判断是对思维对象有所断定的思维形式。它有两个基本特征：有所断定和有真假之分。 按着判断的量可将判断划分为全称判断、特称判断和单称判断；按着判断的质可将判断划分为肯定判断和否定判断；按着判断的关系可将判断划分为定言判断、选言判断和假言判断。 在数学中常用的判断形式有：全称肯定判断：所有S是┈┈；全称否定判断：所有S不是┈┈；特称肯定判断：有些S是┈┈；特称否定判断：有些S不是┈┈；定言判断：S是P；选言判断：或者P或者Q；假言判断：如果P那么Q。 二、命题及其基本形式
?可以判断真假的语句叫做命题。不能判断真假的语句不是命题。 ?根据命题的形式可以将命题分为简单命题和复合命题。没有逻辑联结词的命题叫简单命题；把简单命题用逻辑联结词连接起来就构成复合命题。
?无论在什么情况下都为真的命题称为恒真命题，通常用1表示；相反，无论在什么情况下都为假的命题称为恒假命题，通常用0表示。
?命题相等：如果两个命题A和B同真同假，那么称命题A与命题B相等。记为A≡B。也称为命题A与命题B等价。 三、命题的基本运算
?否定（非）：设P表示一个命题，若否定P，则得命题“非P”，记作P，这个式子叫做命题P的否定式。
否定一个命题与将一个命题换质不同。 ?合取（与）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“与”将其连接起来构成一个新命题“ P与Q”，记作P∧Q，这个式子叫做命题P与Q的合取式。
?析取（或）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“或”将其连接起来构成一个新命题“ P或Q”，记作P∨Q，这个式子叫做命题P与Q的析取式。
命题演算中的“或”与日常生活中的“或”不完全相同。 ?蕴涵（如果┈，那么┈，或者若┈，则┈）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“如果┈，那么┈，或者若┈，则┈”将其连接起来构成一个新命题“如果P，那么Q，或者若P则Q”，记作P→Q，这个式子叫做命题P与Q的蕴涵式。
蕴涵式在逻辑上的用法与在生活中的用法也不同。 ?等价（当且仅当）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“当且仅当”将其连接起来构成一个新命题“ P当且仅当Q”，记作P←→Q，这个式子叫做命题P与Q的等价式。 等价式与等价关系不同，前者是用两个命题构造一个新命题；后者是指两个命题之间的关系。
四、命题演算
?复合命题的真假值可以由组成它的简单命题的真假值通过真值表演算获得。 ?命题演算中常用的等价式。
?数学中命题一般都可以写成假言式，即若P则Q的形式，其中P叫做命题的条件，Q叫做命题的结论。如果把它叫做原命题，通过对P或者Q的否定可以得到它的逆命题：若Q则P，否命题：若P则Q，逆否命题：若Q则P。这四种命题的关系是：P→Q≡Q→P，Q→P≡P→Q。已知其中一个，可以用命题演算获得另外三个。
逆命题的制作：若原命题只有一个条件和一个结论，那么将它们互换即可；若有m
个条件和n个结论，那么把条件的全部或者部分和结论的全部或者部分互换，可以得到
??Ci?1j?1mnmi在中学数学中一般只关心两类逆命题，把条件的全部和结论的全部Cnj个逆命题。
互换的逆命题和把相等的条件和结论互换的逆命题。
在制作逆命题时，要注意：（1）分清原命题的条件和结论；（2）互换条件和结论后
要适当修饰词语；（3）如果原命题的条件或者结论是由多个判断组成的选言判断，只能把它们看成是一个条件或者结论。
否命题的制作与逆命题的制作相类似，需要注意的是对含有量词的命题的否定，常用的等价式有：?x{P(x)}??x{P(x)}，?x{P(x)}??x{P(x)}。
逆否命题的制作有三种方法；（1）P→Q到Q→P再到Q→P；（2）P→Q到P→Q再到Q→P；（3）利用逻辑等价式推导。如：
?为了使命题更加简洁，需要将几个有关联的命题合并成一个命题。如3是质数和7
是指数就可以合并成一个命题3和7都是质数。合并命题也可以利用命题演算达到。
第一节 推理与证明
一、推理的意义和方法 ?推理是从一个或几个已知判断获得一个新判断的思维形式。其中已知的判断叫做推理的前提，获得的新判断叫做推理的结论。推理常用的逻辑联结词有：“因为?，所以?”，“由于?，因此?”等。 ?按照推理所表现的思维进程的方向性可以把推理划分为归纳推理、演绎推理和类比推理。
?按着推理的繁简可以把推理划分为简单推理和复合推理。复合推理是由几个简单推理组成的。 1． 归纳推理
?归纳推理是从特殊到一般的推理，既由几个单称判断或特称判断得到一个新的全称判断的推理。它可以进一步划分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
完全归纳推理是考察一类事物的每一个对象，肯定或否定它们具有某一属性，从而得到这类事物都具有或都不具有这一属性的一般性结论的推理形式。采用完全归纳推理应注意：（1）研究对象的数量不宜太大，且要确知全部对象为何；（2）研究的属性应是这些对象所固有的、共同的本质属性。
不完全归纳推理是考察一类事物的部分对象具有或者不具有某一属性，从而作出这类事物都具有或都不具有这一属性的一般性结论的推理形式。它所得到的结论不一定可
靠，但它确是我们认识和研究的重要推理之一。 2． 演绎推理
?演绎推理是从一般到特殊的推理。用演绎推理获得的结论，只要前提可靠，结论就一定可靠。在演绎推理中，非常重要的一种是三段论。
所谓三段论是从某类事物的全称判断和一个特称判断得出一个新的，较小的全称或特称判断的推理形式。如：
∵菱形是平行四边形， ?????? 大前提 四边形ABCD是菱形， ????? 小前提 ∴四边形ABCD是平行四边形。 ??? 结 论
在大前提和小前提中都出现的（如菱形）叫中项，一般用M表示；在大前提和结论中都出现的（如平行四边形）叫小项，一般用S表示；在小前提和结论中都出现的（如四边形）叫大项，一般用P表示。
在三段论中，大前提是全称肯定判断，结论就是特称肯定判断；大前提是全称否定
判断，结论就是特称否定判断。既：M是P，S是M，则S是P；M不是P，S是M。，则S不是P。逻辑表示为：[（M→P）∧S→M]→（S→P），[（M→P）∧S→M]→（S→P）。可以用真值表证明它们都是恒真命题。
?像三段论这样的蕴涵式恒真命题都可以作为推理规则。 3． 类比推理
?类比推理是从特殊到特殊的推理。既根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，进而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式。类比推理与不完全归纳推理一样，虽然获得结论不一定可靠，但确实我们认识和研究的重要推理之一。一般说来，相同或类似的属性越多，可靠程度越大。 二、证明的意义与方法
?在一门科学理论中，根据某个或某些命题的真实性来确定另一个命题的真实性的逻辑方法叫做证明。它由论题、论据和论证三部分组成。
?根据直接证明论题还是间接证明论题可以将证明方法划分为直接证法和间接证法。
直接证法是根据已知概念、真命题和本题的题设及推理规则直接证明本题结论的证明方法。
间接证法是不直接证明论题，而是通过证明反论题的虚假性，或者通过证明论题的等价论题，来确定论题真确性的证明方法。它可以进一步划分为反证法和同一法。当
证明论题P→Q时，不直接证之，而是把Q作为前提，加进原论题的前提，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论，或推出自相矛盾的结论，从而确立论题的真确性，这种证明方法叫反证法。同一法是通过证明论题的等价论题来证明原论题的证明方法。 ?根据思维时推理的顺序可以将证明方法划分为分析法和综合法。分析法是执果索因，由结论出发不断寻找论据，直至条件；综合法是由因导果，由条件出发，不断寻找结论，直至原论题的结论。 ?在中学数学中常用的证明方法还有逆证法和普通归纳法。
第五章 数学思想方法与中学数学教学
第一节 何谓数学思想方法
?数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识上被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。中学数学常用的数学思想有：数形结合思想、化归思想、分类思想、函数思想、极限思想、模型思想、统计思想、最优化思想等。
?数学方法是指在数学地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。中学数学中常用的方法有：穷举法、换元法、消元法、配方法、待定系数法、参数法、归纳法、反证法、分析与综合法、逆证法等。
?数学方法在实际运用时往往具有过程性与层次性的特点，并且层次越低，可操作性越强，层次越高，内涵越丰富。
?数学思想与数学方法是紧密联系在一起的。一般说来，强调指导思想时称数学思想；强调操作过程时称数学方法。
第二节 数学思想方法与中学数学教学
一、基本的数学思想方法 1．化归
?“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较容易解决或者已有固定解决程式的问题，且通过问题B的解决可得原问题A的解决。
?化归的一般原则是：化归目标简单化原则；和谐统一性原则；具体化原则；标准形式化原则；低层次化原则。
?化归的策略是：通过寻找适当的映射实现化归；通过语义转化实现化归；通过一般化与特殊化实现化归。 2．抽象
?抽象一般有两种理解：一种认为抽象是指从事物中区分出个别的非本质的属性特征和共同的本质特征的过程和方法（动词性）；另一种认为抽象是指用来形容那种偏离具体经验较远，因而不太容易理解的对象的一种程度词（形容性）。数学的抽象性是取它的形容性。
?数学的抽象是非常特殊的，具体表现在它的内容、程度和方法上。
?高度抽象不仅是数学的基本特征，也是数学发展的重要方法，同时也是数学应用（数学化）的基本方法，所有这些表明，具体——抽象——具体是数学教学的基本原则。 3．公理化 ?所谓公理化方法，是指从尽可能少的一组原始概念和一组公理出发，运用逻辑推理规则，将一个数学系统建立成为一个演绎系统的方法。如欧几里德几何就是一个用公理化方法建立的系统。
?在逻辑上，公理的选取要满足相容性、独立性和完备性。 4． 结构方法
?所谓结构是指在一个非空集合中，引进运算或变换，或元素间的某种关系。
?布尔巴基学派把数学的基本结构划分为三类：代数结构——运算，来自数量关系；序结构——先后，来自时间观念；拓扑结构——连续，来自空间观念。 二、中学数学中的数学思想方法及其对教学的启事
1． 从中学数学教学内容分析数学思想方法
?用字母代替数的思想方法； ?集合的思想方法；
?函数、映射、对应的思想方法； ?数形结合的思想方法； ?最优化的思想方法；
?统计思想和数据处理方法； ?分类讨论的思想方法； 2． 如何贯彻数学思想方法的教学
?充分挖掘教材中的数学思想方法
?有目的、有意识地渗透、介绍相应的数学思想方法
第六章 中学数学教学原则
第一节 教学原则概述
?根据教育、教学目的和对教学过程规律性的认识而制定的指导教学工作的基本要求。其中教学规律是指教学内部所包含的矛盾联系。基本要求是指教学原则所反映和处理的矛盾不是无限多的非基本的或局限的矛盾，而是一些基本的矛盾关系，带有普遍性，它制约着教学过程的各个方面和自始至终的整个过程。
?教学原则不同于教学规律、教学原理。
第二节 中学数学教学原则
一、严谨与量力相结合
?严谨性是数学的特点之一，其内涵主要是数学逻辑的严格性及结论的精确性，主要表现在：（1）概念（除原名）必须定义，（2）命题（除公理）必须证明，（3）每个数学分支所包含的概念和命题按着一定的逻辑顺序构成一个体系，（4）概念的陈述过程与命题的论证日益符号化、形式化。
?数学的严谨性具有相对性。 ?中学生的实际情况是：（1）对数学语言的理解和运用存在困难，（2）推理不严，（3）思考不慎密。
?严谨与量力相结合：（1）教学内容是科学的，思维要符合逻辑要求，（2）对数学严谨性要求只能逐步适应，严谨的程度应是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到。 二、具体与抽象相结合
?数学的研究对象是现实世界的量的关系和空间形式，其内容是极其丰富的，但为了在比较纯粹的状态下研究，才不得不把研究对象的所有其他特性抛开，而只抽象出数量关系和空间形式，这就是数学的抽象性。
?中学生抽象思维的局限：（1）过于依赖具体素材，（2）抽象与具体割裂，（3）抽象能力弱，（4）对抽象结论间的关系掌握不好。
?具体与抽象相结合：（1）从具体到抽象，再从抽象到具体，循环往复，才能认识不断提高和深化，（2）恰当使用具体材料。 三、巩固与发展相结合