淮 海 工 学 院
09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷（A
闭卷）
答案及评分标准
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．一袋中有6个白球，4个红球，任取两球都是白球的概率是-----------------（ B ） (A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/6 2．设随机变量X~b(3,p)，且P{X?1}?P{X?2}，则p为---------------（A ）
(A)0.5 (B)0.6 (C)0.7 (D)0.8
3．设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则边缘概率密度fX(x)?----------（ C ） (A)?????f(x,y)dx (B)?????xf(x,y)dx (C)?????f(x,y)dy (D)?????yf(x,y)dy
4．设X是一随机变量，则下列各式中错误的是----------------------------------（ C ）
(A)E[D(X)]?D(X) (B)E[E(X)]?E(X) (C)D[E(X)]?E(X) (D)D[E(X)]?0
5．已知E(X)?0，D(X)?3，则由切比雪夫不等式得P{|X|?6}?------（ B ） (A) 1/4 (B) 1/12 (C) 1/16 (D) 1/36
6．设总体X?N?1,22?，X1,X2,?,Xn为X的一个样本，则---------------（ C ）
第１页 共30页
(A)
X?12?N?0,1? (B) X?14?N?0,1? (C) X?1X?2/n?N?0,1? (D) 12?N?0,1?
7．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，X1,X2,?,Xn为来自X的样本，样本
均值为X，样本标准差为S，则?的置信水平为1??的置信区间为-------（ D ）
(A) (X??nz?) (B) (X???(n?1))
2nz2(C) (X?sntn)) (D) (X?s?(t?(n?1)) 2n28．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，检验假设H2220:???0,H1:???20的拒绝域为--------------------------------------------------------------------------------------（ A ）
(A)22n?1)或?2??22 ????(21??(n?1) (B)???2?(n?1)
2(C)?2??22?(n?1或)?2??1??n(? 1 ) (D) ?2??21??(n?1)
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．设A,B,C表示三个随机事件，则事件“A,B,C不都发生”可用A,B,C的运
算关系表示为ABC.
2．随机变量X的数学期望E(X)?2，方差D(X)?4，则E(X2)? 8
?3．设X和Y相互独立，且X~U?0,1?，Y的概率密度为f?1e?12y,y?0Y(y)??2，
??0,其他?1?1则(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???e2y,x?(0,1),y?0.
?2?0,其他4．设X1,X2,?,Xn是来自正态总体X~N(?,?2)的一个简单随机样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，则E(X)??，E(S2)??2.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
1．已知P?A??0.4,P?A?B??0.7，分别在下列两种条件下，求P?B?的值. （1）若A与B互不相容；（2）若A与B相互独立.
解 由加法公式P?A?B??P?A??P?B??P?AB? ------------2? （1）A与B互不相容，即AB???P(AB)?0，
代入加法公式得，P?B??0.7?0.4?0.3 ------------2? （2）A与B相互独立，即P?AB??P(A)P(B)
代入加法公式得，0.7?0.4?P(B)?0.4P(B)，得P?B??0.5 ------------3?
22．已知随机变量X的概率密度函数为f(x)???ax,0?x?1,?0,其他,
求（1）常数a；（2）P{X?0.3}. 解 (1) ????1??f(x)dx?1,??0ax2dx?1?a?3 -----------------4?
第２页 共30页
(2) P{X?0.3}??1310.33x2dx?x0.3?0.973. -----------------3?
3．已知随机变量X~U(0,1)，求随机变量Y?lnX的概率密度函数fY(y). 解 f?1,0?x?1,X(x)??, ---------------------2?
?0,其他y?g(x)?lnx,g?(x)?1x?0,g(x)在(0,1)严格单调增， 反函数x?h(y)?ey,h?(y)?ey
??min?g(0),g(1)????,??max?g(0),g(1)??0.----------------------2?
f(y)???fX[h(y)]?|h'(y)|,??y??,?ey,y?0,Y?0,其他，???0 ---------------------3? ?0,y
4．设随机变量X与Y相互独立，且具有相同的分布律：
X 1 2
pk 0.3 0.7 求（1）?X,Y?的分布律；（2）P{X?Y?3}. 解 （1） Y X 1 2 P{X= i} 1 0.09 0.21 0.3 2 0.21 0.49 0.7
P{Y= j} 0.3 0.7 1 -------------------5?
（2）P{X?Y?3}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}
?0.21?0.21?0.42. ---------------------2?
四、应用题（本题8分）
某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1:2:1，出售灯泡时需试用. 一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 现有一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率. 解： 设A1?“一级品”，A2?“二级品”，A3?“三级品”，B?“灯泡正常”，
------------------2?
P(A1211)?4,P(A2)?4,P(A3)?4, ------------------2? P(B|A1)?0.9,P(B|A2)?0.8,P(B|A3)?0.7,?P(A3)P(B|A1)3|B)?P(AP(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)
1?14?0.9?0.281. ----------------4?4?0.9?21
4?0.8?4?0.7
五、计算题（本题8分）
设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.
?解 f)??1?3,2?x?5 ,X(x ---------------2?
??0,其他,p?P{X?3}??5133dx?23 ---------------2?
设Y表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数，则Y~b(3,23)---------------2?
?P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1263)3?27 -----------------2?
第３页 共30页
六、计算题（本题8分）
?1?x设总体X的概率密度为f(x;?)???e?,x?0,?? 其中?＞0为未知参数，
?0,x?0.X1,X2,?,Xn为来自X的样本，x1,x2,?,xn为相应的样本值，
（1）求?的最大似然估计量??1； （2）试问??1与??2?2X?X1是不是?的无偏估计量？当n?1时，上述两个估计量哪一个较为有效？
nn解 (1) 似然函数L(?)??f(x1n?xi?i?1i;?)???n,x1,x2,?,xn?0 -------2?
i?1?ei?1n lnL(?)??nln??1??xi， i?1dlnL?n令(?)d(?)??n1???2xi?0，解得???1nxi?x， i?1n?i?1所以?的最大似然估计量为??1?X. ----------------2? (2) E(??1)?E(X)??, E(??2)?E(2X?X1)?2?????, ?估计量??1与??2都是?的无偏估计量。 ----------------2? 又D(??)?D(X)??21n,
D(??)?D(2X?X)?D??2?n21?nX1?2nX2???2nX?n??
222???2?n???n??D(X1)??2??n??D(X2)?????2??n??D(Xn)
?(2?n)2?4(n?1)n2?2??2.当n?1时，D(??1)?D(??2)，所以??1较??2为有效. ------------------2?
第４页 共30页
七、应用题（本题8分）
根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布，标准差为150小时. 今由一批产品中随机抽查25件，计算得到平均寿命为2536小时，试问在显著性水平0.05下，能否认为这批产品的平均寿命为2500小时？并给出检验过程.
( 已知 z0.025?1.96,z0.05?1.645 )
解 设产品的使用寿命X~N(?,?2),??150已知，由题意
需检验假设 H0:??2500;
H1:??2500 ---------------2? X??0，
采用Z检验，取检验统计量Z?则拒绝域为|z|?z0.025?/n?1.96 ----------------2?
将n?25,??150,?0?2500,x?2536代入算得
|z|?2536?2500150/25?1.2?1.96，未落入拒绝域内，故接受H0， ----------3?
即认为这批产品的平均寿命为2500小时. ----------------1?
第５页 共30页
淮 海 工 学 院
09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计试卷（B
(A) 1/9 (B) 1/3 (C) 8/9 (D) 1
闭卷）
6．设总体X~N(?,?2)，其中?已知，?2未知，X1,X2,X3为来自总体X的一个样本，则下列各式不是统计量的是---------------------------------------------------（ D ）
答案及评分标准
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．设A,B,C为三事件，则事件“A与B都发生，而C不发生”可用A,B,C的运算关系表示为--------------------------------------------------------------------------（ C ）
(A) AB (B) C (C) ABC (D) AB?C
2．设随机变量X~N(0,1)，Y?aX?b(a?0)，则------------------------（ C ）
(A)Y~N(0,1) (B)Y~N(b,a) (C)Y~N(b,a2) (D)Y~N(a?b,a2)
3．设(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则其边缘概率密度fY(y)? --------（ A ）
(A)?????f(x,y)dx (B)?????f(x,y)dy (C)???xf(x,y)dx (D)???????yf(x,y)dy
4．设随机变量X~b(n,p)，且E(X)?24.,(DX)14.4?，则二项分布的参数n,p的值为--------------------------------------------------------------------------------------（ B ）
(A)n?4,p?0.6 (B)n?6,p?0.4 (C)n?8,p?0.3 (D)n?24,p?0.1
5．设随机变量X具有数学期望E(X)??，方差D(X)??2，则由切比雪夫不等式，有P?X???3??? --------------------------------------------------------------（ A ）
(A) 13(X1?X2?X3) (B) X1X2?2?
(C) max{X11,X2,X3} (D) 2?2(X21?X2?X23)
7．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，X1,X2,?,Xn为来自X的样本，样本
均值为X，样本标准差为S，则?的置信水平为1??的置信区间为-----（ D ）
(A) (X??nz?) (B) (X??(n?1))
2nz?2(C) (X?snt(n)) (D) (X?s?t?(n?1)) 2n28．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，检验?2
，可取检验统计量为-------（ C ）
(A)Z?X??01)S22(n?1)S2?/n
(B)T?X??0S/n
(C)?2?(n??2
(D)??0?2
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．一口袋有6个白球，4个红球，“无放回”地从袋中取出3个球，则事件“恰有两个红球”的概率为
3/10.
2．设随机变量T?U?0,5?，则方程x2?Tx?1?0有实根的概率为
3/5.
3．设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?12?4x?4?e?x,x?R，则