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七、计算题（本题10分）
x?1???xe,x?0,设总体X具有概率密度f(x)???2其中?＞0为未知参数，
?0,x?0.?
2X1,X2,?,Xn来自X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值。
(1) 求?的最大似然估计量??
(2) 问求得的估计量??是否是?的无偏估计量？为什么？
n解：(1)构造似然函数L(?)??i?1f(xi)?1?2n?xeii?1n?i?1??nxi -----------------------2?
取对数有lnL(?)??2ln??(1?令
1?)?xi
i?1ndlnL(?)??x，所以?的最大似然估计量为???X------------3? ?0 得?22d(?)xX11??12??1(2)E(?)?E()?EX??xedx??2220?22??是?的无偏估计量。---- ?估计量?
（3）由于E(X)??,D(X)??, 故E(X)??,E(X)?D(X)?E(X)?从而E(X?22???0xde2?x??? ----4?
---------------------1?
?n??2---------------------------------------1?
1X)??2， n22
2??X?所以?的一个无偏估计量为?1X------------------- n
淮 海 工 学 院
10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（A卷）
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 (填首卷) 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．对于事件A，B，下列命题正确的是 （ D ） （A）若A，B互不相容，则 与 也互不相容。 （B）若A，B相容，那么 与 也相容。
（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么 与 也相互独立。
2．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从
袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B ) （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5
3．设P{X?0,Y?0}?37，P{X?0}?P{Y?0}?47，则P{max{X,Y}0?}?
( C )
(A)
37 (B) 47 (C) 567 (D) 7 4．设X~N(?,1)，则满足P?X?2??P?X?2?的参数?? ( C )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5．设X~P????Poisson分布?,且E???X?1??X?2????1,则?? ( A ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
6．设总体X~N(1,?2)，X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本，
则为参数?2
的无偏估计量的是 ( A )
1n1n1n(A) 2n?1?(Xi?X) (B) (X?X)2 (C) X2 (D) X2 i?1n?ii?1n?ii?1第１７页 共30页
7．设总体X~N(1,?2)，其中?2
已知，?未知，X1,X2,???,Xn为其样本，下列各项中不是统计量的是 ( D ) 3(A) X1?X2?X3 (B) min?X1,X2,X3? (C)
?X2i2 (D) X1??
i?1?8．设总体X~N??,?2?，X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，x1,x2,?,xn为
样本的观测值，?2
为未知，则?的置信水平为1??的置信区间为 （ D ）
?nn(x?x)2?(x?x)2ii(A) (i?1i?1?22(B) (x?s?(n?1),2?1??(n?1)) 2nzs?,x?nz?) 22(C) (x??? (D) (x?snz?,x?t(n?1),s2nz?) 2n?x?t?(n?1)) 2n2
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．一书架上有5本小说，3本诗集以及1本字典，今随机选取3本，则选中2本小说和1本诗集的概率是
514 2．设随机变量X?N(?,1)，Y??2(n)，且X,Y相互独立，则
T?X??Yn?t(n) 3．已知X~b?3,0.2?，则E?X2?? 0.84 4．设随机变量X的数学期望E(X)?75，方差为D(X)?5，利用切比雪夫不等式估计得P?X?75????0.05，则?? 10
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
１．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份吗，7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。求先抽到的一份是女生表的概率。
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解： 设Hi表示“报名表是取自第i地区的考生”(i?1,2,3)，Aj表示“第j次
取出的报名表是女生表” (j?1,2)。 （1分）
1P(H?) 33375 P(A1H1)?， P(A1H2)?， P(A1H3)? （2分）
101525?由题意，有 P(H1)?P(H2) 由全概率公式，
x??1/4dy,(1)fX?x???f(x,y)dy????x????0,?21/4dx,???y???fY?y???f(x,y)dx??21/4dx,????y???0?x?2?x/2,0?x?2 ?? (3分)
0,其他?其他??2?y?/4,?2?y?0????2?y?/4,0?y?2 ?0,其他??2?y?00?y?23P(A1375291)??P(Hi)P(AHi)?i?13(10?15?25)?90 (4分)
?0,x?02．已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)???x2， ??Be??A2,x?0求：(1) 常数A,B的值； (2) 随机变量X的密度函数f?x?；
(3) P?2?X?2?。
解： (1) 由F?x?右连续性得F?0???F?0?，即A?B?0，又由F?????1得，A?1， 解得A?1,B??1 (3分)
2 (2) ??xf(x)?F??x????xe2,x?0， (2分)
??0,其它(3) P?2?X?2??F?2??F?2??e?1?e?2 (2分)
?3．设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)??1?,0?x?2,y?x。
?4?0,其他（1）求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（2）X和Y是否独立? 解:
?0,其他(3分)
(3) fX?x?fY?y??f(x,y)，不独立 (2分)
4．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。
解：设X为抽白球的个数，X=0，1, 2，3。 (1分)
有下列分布率
X 0 1 2 3
1P C33C22134C3C4C3CC3?1 3?12 3?18 4?4 735C735C735C3735(3分)
E(X)?1?1235?2?1841235?3?35?7 (1分) E(X2)?1?1235?4?1842435?9?35?7 (1分)
D(X)?24122247?(7)?49 (1分)
四、证明题 （本题8分）
设三个事件A,B,C满足AB?C,试证明:P?A??P?B??1?P?C?
证明：由于AB?C，所以P?AB??P?C?， （3分） 所以P?A??P?B??P?A?B??P?AB??P?A?B??P?C??1?P?C?
(5分)
五、计算题（本题8分）
已知某仪器装有3个独立工作的的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，概率密度为
?x f(x)??e??600600,x?0, ??0,x?0.试求在仪器使用的最初200h内，至少有一个电子元件损坏的概率。
解：把3个元件编号1，2，3，并设事件Ak为“在仪器使用的最初200h内，第k只元件损坏”(k?1,2,3)。 （1分）
设Xk表示第k只元件的使用寿命(k?1,2,3)，由题意，Xk(k?1,2,3)服从概率密度为f(x)的指数分布，于是
??xP(A?200}??1200600e?k)?P{Xk600dx?e?13，(k?1,2,3) （3分）
因此所求事件的概率为
P(A1?A2?A3)?1?P(A1A2A3)?1?(e?13)3?1?e?1。 （4分）
六、计算题（本题8分）
设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数:
f(x)???(??1)x?,0?x?1， ?0,其他 ??0, 求参数?的矩估计量和极大似然估计量。
解：E?X???10x(??1)x?dx???1??2 (2分) 第１９页 共30页
由X?E?X????1???2知矩估计量为??11?X?2 (2分) ?nL??????(??1)n?x?i,0?xi?1?i?1 (1分) ?0,其它??nlnL??nln(??1)???lnxi (1分)
i?10??lnL???n???n??1??lnxi (1分)
i?1故极大似然估计量为 ????n?n?1 (1分)
lnxii?1
七、计算题（本题8分）
某种元件的寿命X（以小时计）服从正态分布N(?,?2)，?,?2均未知，现
测得16只元件的寿命的均值x=241.5，s=98.7259，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）。（??0.05,t0.05(15)?1.7531）
解：提出假设：H0:??225;H1:??225 (3分)
拒绝域为：t?t?(n?1), (1分) 计算统计量的值：
t?x?22522598.7259?241.5?t0.05(15) (2分)
1698.7259?0.6685?1.7531?16没有落入拒绝域，接受H0，因此认为元件的平均寿命不大于225。(2分)
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10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（B卷）
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 (填首卷) 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．设A,B为对立事件，0?P?B??1，则下列概率值为1的是 ( C )
(A) P?A|B? (B) P?B|A? (C) P?A|B? (D) P?AB? 2．设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是 ( A )
(A)
P(A?B)?P(A) (B) P?AB??P?A?
(C) P?B|A??P?B? (D) P?B?A??P?B??P?A?
3．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B )
（A）
15 （B）25 （C）345 （D）5 4．设P{X?1,Y?1}?459，P{X?1}?P{Y?1}?9，则P{min{X,Y}?1}?
( A )
(A)
23 (B) 2081 (C) 49 (D) 13 5．设X~P????poission分布?,且E???X-1??X?2????1,则??( A )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
6．设f?x?是随机变量X的概率密度，则一定成立的是 ( B )
(A) f?x?定义域为[0,1] (B) f?x?非负 (C) f?x?的值域为[0,1] (D) f?x?连续
7．设随机变量X~N?1,1?，概率密度为f?x?，分布函数F?x?，则下列正确的是
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( B )
(A) P{X?0}?P{X?0} (B) P{X?1}?P{X?1} (C) f?x??f??x?, x?R (D) F?x??1?F??x?, x?R
8．设X,X212,?,Xn是正态总体X~N??,??的样本，其中?已知，?未知，则
下列不是统计量的是 ( C ) n(A) maxXk1?k?nXk (B) min1?k?nXk (C) X?? (D)
?
k?1?
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．设A,B为随机事件，P?A??P?B??0.7，P?AB??0.3，则
P?AB??P?AB??_____0.1____ 2．设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，则Y?X2的概率密度函数为
f??1?4y?,0?y?4Y?y??? ??0,其他3．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得
P?X?2?2??12 4．设XX~N?0,4?的样本，则当a?11,X2,X3,X4是来自正态总体20时，Y?a?X21?2X2??a?X3?2X224?~??2?
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
1． 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球，今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球。
(1) 求此球是白球的概率；