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解 （1）E(X)????0?2x2e??xdx?2? ---------------2?
将n?9,s?6,?0?53.6,x?57.7代入算得
??令E(X)?X，可得总体参数?的矩估计量?（2）构造似然函数
n2 ---------------2? Xt?57.7?53.66/9?2.05?1.860，落入拒绝域内，故拒绝H0， ----------3?
?nn???xi2n??f(xi)????xi?ei?1,x1,?,xn?0--------------2? L(x1,?,xn;?)??i?1i?1?其它?0,当x1,?,xn?0时，取对数 lnL?2nln??n即认为今年的日均销售额比去年显著提高.
?lnxi?1ni???xi
i?1ndlnL2n?0???xi?0 dλ?i?12n2???n? n1xixi??ni?1i?1??2 --------------2? 故其最大似然估计量为?X令
七、应用题（本题8分）
某超市的日销售额X~N(?,?2)（单位：万元），已知去年的日均销售额为
53.6，今年随机抽查9天，得平均日销售额x?57.7，方差s2?36．在显著性水
平??0.05下，试问今年的日均销售额比去年是否显著提高？
（已知 t0.025(9)?2.262,t0.025(8)?2.306,t0.05(9)?1.833,t0.05(8)?1.860） 解 ?未知，由题意，需检验假设H0:??53.6;采用T检验，取检验统计量T?2
H1:??53.6 ------------2?
X??0S/n，
则拒绝域为t?t0.05(8)?1.860 ----------------2?
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淮 海 工 学 院
10 - 11 学年 第1学期 概率论与数理统计 试卷（B
（C）
2X?Y23~N?0,1? （D）
2X?Y?123~N?0,1?
闭卷）
5．已知E(X)?0，D(X)?3，则由切比雪夫不等式得P{|X|?6}?------（ B ） 答案及评分标准
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．8只碗有2只为次品，任取两只，恰有1只为次品的概率是- （C）
(A) 18 (B) 14 (C) 317 (D) 2
2．设连续型随机变量X的概率密度函数和分布函数分别为f?x?,F?x?，则下列选项中正确的是------------------------------------------------（ B ） （A）0?f?x??1 （B）0?F(x)?1 （C）P{X?x}?f(x) （D）P{X?x}?F(x) 3．已知X1,X2独立，且分布律为 X i 0 1
(i?1,2)
P 0.5 0.5 则下列结论正确的是-----------------------------------------------------------------（ C ） （A）X1?X2 （B）P{X1?X2}?1? （C）P{X1?X2}?0.5 （D）以上都不正确
4．设随机变量X~N?1,2?，Y~N?2,4?，且X与Y相互独立，则---（ C ） （A）2X?Y~N?0,1? （B）2X?Y?1~N?1,9?
（A）1/4 （B）1/12 （C） 1/16 （D）1/36 6．设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?2)简单随机样本，X是样本均值，记
S21?1nn?1?(XX)2，S21ni?2??(Xi?X)2，则服从自由度为n?1的t分布i?1ni?1的随机变量是----------------------------------------------------------------------------（ C ）
（A）t?X??S）t?X??）t?X??1/n?1 （BS2/n?1 （CS（D）t?X??1/n S2/n
7．设X,X212,X3是取自总体X的一个样本，E(X)??,D(X)??，则有（ B ） （A）X1?X2?X3是?的无偏估计 （B）
X1?X2?X33是?的无偏估计
（C）X2
2?X?X22?X3?22是?的的无偏估计 （D） ?1?3?是??的的无偏估计
8．在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用-----（ A ） （A）Z检验法 （B）t检验法 （C）F检验法 （D）?2检验法
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从
袋中随机各取一球．则（1）第一人取到黄球的概率是 2/5 ，（2）第二人取到黄球的概率是 2/5 2．设X的概率密度为f(x)?1?x2?e，则E(X)? 0 ，D(X)＝ 1/2
3．已知D(X)?25,D(Y)?36，（1）若X与Y相互独立，则D(X?Y)? 61 ； （2）若?XY?0.4，则D(X?Y)? 85 4．若某产品的不合格率为0.1，任取100件，以X记其中不合格品的件数，则X服从 b (100, 0.1) ，根据德莫佛-拉普拉斯定理计算得P{X?7}? 0.1587 （已知?(1)?0.8413）
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
1．设有两种报警系统Ⅰ与Ⅱ，它们单独使用时，有效的概率分别为0.92与0.93，且已知在系统Ⅰ失效的条件下，系统Ⅱ有效的概率为0.85，试求： （1）系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率. 解 设事件A={报警系统Ⅰ有效}，事件B={报警系统Ⅱ有效}
已知P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B|A)?0.85 ------------1?
由P(B|A)?P(BA)P(B)?P(AB)0.93?P(AB)P(A)?1?P(A)?1?0.92?0.85
求得P(AB)?0.862 ------------4?
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988----------2?
2．设随机变量X在(0,3)上服从均匀分布，求Y?2X?1的概率密度.
?1解 f?,0?x?3X(x)??3 ----------2?
??0,其它y?g(x)?2x?1，g?(x)?2?0，g(x)为严格单调增函数，
其反函数为x?h(y)?y?12,h?(y)?12， ----------2? ?所以f)??1?3,1?y?7Y(y ------------3?
??0,其它第２８页 共30页
3．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???cxy,0?x?2,0?y?2?0,其它 （1）求常数c；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y);（3）判定X与Y的独立性，并说明理由． 解 （1）由
??????????f(x,y)dxdy??220?0cxydxdy?4c?1?c?14 ?（2）ff(x,y)dy??X(x)??????21?104xydy,0?x?2?????2x,0?x?2
??0,其它??0,其它? 由对称性得f?1y,0?y?2Y(y)??2
??0,其它（3）因fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X与Y相互独立． 4．设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 1 0.2 0.1 0.1 求E(X),E(Y)及E(XY)．
解
X 0 1 p 0.6 0.4 E(X)?0.4 ------------2?
Y 0 1 2 p 0.3 0.3 0.4 E(Y)?1?0.3?2?0.4?1.1 ------------2?
XY 0 1 2 p 0.8 0.1 0.1
E(XY)?1?0.1?2?0.1?0.3 --------3?
四、应用题（本题8分）
两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的
概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求（1）任意取出一个零件是合格品的概率；（2）若任意取出的一个零件发现是废品，问它出自第一台机床的概率．
解 设A={任意取出一个零件是合格品}，Bi={零件出自第一台车床}，i=1,2 已知P(B1)?23,P(B)?123,P(A|B1)?0.97,P(A|B2)?0.98 ------------2? 由全概率公式
P(A)?P(B21)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?3?0.97?13?0.98?0.973-----3? 2P(BP(ABB?0.031)P(1)P(A|B1)1|A)?P(A)?P(A)?31?0.973?0.74 ----------3?
五、计算题（本题8分）
?1?1X（以年计）的概率密度为f(x)???e4x一种电子元件的使用寿命,x?0?4，
?0,x?0若某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的．求在使用的第一
年内无一元件损坏的概率．
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解 设Y为在使用的第一年内损坏的元件个数，Y~b(3,p)，其中 p?P{0?X?1}??111104e?4xdx?1?e?4 ---------------4? 3所以 P{Y?0}?(1?p)3?e?4 ----------------4?
六、计算题（本题8分）
的概率密度为f(x;?)????2xe??x设总体X,x?0,其中参数?(??0)未
?0,其它知，x1,x2,?,xn来自总体X的简单随机样本. （1）求参数?的矩估计量； （2）求参数?的最大似然估计量. 解 （1）E(X)????220?xe??xdx?2? ---------------2?
令E(X)?X，可得总体参数?的矩估计量???2X ---------------2? （2）构造似然函数
?nL(x?,x??nnf(x?2n????xin;?)??i)??xi?ei?1,x1,?,x1,n?0--------------2? ?i?1i?1?0,其它nn当x1,?,xn?0时，取对数 lnL?2nln???lnxi??xi
i?1?i?1令dlnLdλ?0?2nn???xi?0
i?1???2n2?n?x1n
ixii?1n?i?1故其最大似然估计量为???2X --------------2?
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七、应用题（本题8分）
某日从饮料生产线随机抽取16瓶饮料，分别测得重量（单位：克）后算出样本均值x?502.92及样本标准差s?12．假设瓶装饮料的重量X~N(?,?2)，其中
?2未知，问该日生产的瓶装饮料的平均重量是否为500克？（取??0.05）
（已知t0.025(16)?2.120,t0.025(15)?2.132,t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753） 解 由题意，需检验假设 H0:??500;采用T检验，取检验统计量T?H1:??500 ------------2?
，
X??0S/n则拒绝域为|t|?t0.025(15)?2.132 ----------------2? 将n?16,s?12,?0?500,x?502.92代入算得
|t|?502.92?50012/16?0.973?2.132，未落入拒绝域内，故接受H0，----3?
即认为该日生产的瓶装饮料的平均重量是否为500克. ---------1?