(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.
解: 设A表示“取得的为白球” ，Bi分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” i?1,2,3 则
P?B1??P?B2??P?B3??1/3，
P?A|B1??2/3，P?A|B2??1/3，P?A|B3??1/2， (3分)
3由全概率公式得：P?A???P?A|Bi?P?Bi??1/2， (2分)
i?1由贝叶斯公式得：P?BP?A|B1?P?B1?1|A??P(A)?4/9 (2分)
?0,x?02．已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)???x2， ???A?Be2,x?0求：(1) 常数A,B的值； (2) 随机变量X的密度函数f?x?；
(3) P?2?X?2?。
解: (1) 由F?x?右连续性得F?0???F?0?，即A?B?0, (1分)
又由F?????1得，A?1， (1分) 解得A?1,B??1 (1分)
x2 (2) ??f(x)?F??x????xe2,x?0, (2分) ??0,其它第２１页 共30页
(3) P?2?X?2??F?2??F?2??e?1?e?2 (2分)
3．设总体为X，期望E?X???，方差D?X???2,X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本，样本均值X?1n?nX，样本方差S2?1n?X?X?2，证明：S2ii?1n?1?ii?1是参数?2
的无偏估计量。
证明：E?X???，D?X???2，X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本，
所以E?X???，D?X???2/n， (3分)
所以E?S2??12n?1E?n????X?1?n22?i?X?i?1?? ?n?1???E?Xi??nE?X?i?1?? 1?n?n?1?????2??2??n??2/n??2????2， （3分） i?1??即S2是参数?2
的无偏估计量 (1分)
4．设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为：
f?e?x,x?0X(x)??0,，f?1,0?y?1?x?0Y(y)??， ?0,其他求随机变量Z?X?Y的期望和方差。
解：因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?f?x?f?e?x,x?0,0?y?1,XY?y????0,其它 (3分)
E?Z??????????(x?y)f(x,y)dxdy????1?x3??0(?0(x?y)?edy)dx?2 （2分） 第２２页 共30页
E?Z2????????????(x?y)2f(x,y)dxdy??(?(x?y)2?e?xdy)dx?00??110（2分） 32213fY?y??????21/4dx,?2?y?0??2?y?/4,?2?y?0???y??f(x,y)dx??21/4dx,0?y?2???2?y?/4,0?y?2
D(Z)?E?Z??(E(Z))?12 （1分） 四、证明题（本题8分）
设事件A,B,C相互独立，证明事件A?B与事件C也相互独立.
证明：由于事件A,B,C相互独立，所以P?ABC??P?A?P?B?P?C?，
P?AB??P?A?P?B?，P?AC??P?A?P?C?，P?BC??P?B?P?C?，
（4分） 所以 P??A?B?C??P?AC?BC?
?P?AC??P?BC??P?ABC?
?P?A?P?C??P?B?P?C??P?A?P?B?P?C??P?A?P?B??P?A?P?C??P?A?P?B?P?C? ?P?A?B?P?C?
即事件A?B与C也相互独立。 (4分)
五、计算题（本题8分）
设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)???A,0?x?2,y?x?0,其他。
（1）求常数A的值；（2）求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（3）X和Y是否独立? （1）由
?????f(x,y)dy?1，得A?1/4 (2分)
x(2)fX?x?????f(x,y)dy??????x1/4dy,0?x?2 ??x/2,0?x?2???? (2分?0,其他?0,其他)
????y???0,其他?0,其他(2分)
(3) fX?x?fY?y??f(x,y)，不独立 (2分)
六、计算题（本题8分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数：f(x,y)???3y,0?x?y,0?y?1?0,其他
求（1）数学期望E?X?与E?Y?；（2）X与Y的协方差Cov?X,Y? 解: E?X????????xf(x,y)dxdy??1(?y????00x?3ydx)dy?3/8, (2分)
E?Y????????yf(x,y)dxdy??1(?y????00y?3ydx)dy?3/4, (2分) E?XY????????xyf(x,y)dxdy??1(?y????00xy?3ydx)dy?3/10, (2分)
Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?X?=3/160. (2分)
七、计算题（本题8分）
一台包装机包装面盐，包得的袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，某日开工后，为检验包装机是
否正常，随机抽取他所包装面盐9袋。经测量与计算得x=0.511，取??0.05，问机器是否正常。（查表?0.025?1.96）
解：提出假设 H0:??0.5 ； H1:??0.5 （3分）
拒绝域的形式为：Z?z? （1分）
2计算统计量的值：Z?0.511?0.50.015?2.2?1.96?z0.025 （3分）
9落入拒绝域，拒绝H0，因此认为这天包装机工作不正常。 （1分）
第２３页 共30页
淮 海 工 学 院
10 - 11 学年 第1学期 概率论与数理统计 试卷（A
5． 设随机变量X的方差D(X)存在，a?0，则由切比雪夫不等式
闭卷）
?|X?E(X)|?P??1??------------------------------------------ ( C )
答案及评分标准
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．设A,B为两个事件，且B?A，则下列式子正确的是-------------（ B ） （A）P(AB)?P(A) （B）P(A?B)?P(A) （C）P(B|A)?P(B) （D）P(B?A)?P(B)?P(A)
2．设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}?-----------（ C ） （A）增大 （B）减少 （C）不变 （D）增减不定
3．设随机变量X与Y相互独立且具有相同的分布律 0 X 1 ?
P 0.5 0.5 则随机变量Z?maxX,Y?的分布律为----------------------------（ D ） (A)P{Z?0}?0.5,P{Z?1}?0.5 (B) P{Z?0}?1,P{Z?1}?0 (C)P{Z?0}?0.75,P{Z?1}?0.25 (D) P{Z?0}?0.25,P{Z?1}?0.75 4．设X与Y是两个随机变量，则下列各式中正确的是-------------- ( A ) (A) E(X?Y)?E(X)?E(Y) (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y)
(C) E(XY)?E(X)E(Y) (D) D(XY)?D(X)D(Y)
?a?（A）D(X) （B）1 （C）
D(X)a2 （D）a2?D(X) 6．设X～N(?,?2)，其中?已知，?2
未知，X1,X2,X3为一个样本，则下列选项中不是统计量的是---------------------------------------------（ C ） 3（A）XX2i1?X2?X3 （B）max{X1,X2,X3} （C）
?2 （D）X1??
i?1?7．总体X~N(?,1),?为未知参数，X1,X2,X3为X的一个样本，下面4 个关于
?的无偏估计量中最有效的一个是------------------------------- ( D )
（A）13X21111?3X2 （B）4X1?2X2?4X3
（C）16X?511116X2 （D）3X1?3X2?3X3
8．在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，?为犯第一类错误的概率，下列正确的是-------------------------------------------------------- ( A ) （A）P?拒绝H0|H0真???, （B）P?拒绝H1|H0真???, （C）P?接受H0|H0不真???, （D）P?拒绝H0|H0不真???.
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．设甲、乙的命中率分别为0.6和0.5，现两人独立地对同一目标射击一次，则两人同时击中目标的概率为 0.3 ，目标被击中的概率为 0.8 2．设随机变量X1,X2相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从参数
为λ?3的泊松分布，记Y?X1?2X2，则E(Y)? -3 ，D(Y)? 15 3．将一枚硬币连掷100次，以X记出现正面的次数，则X服从 b (100, 0.5) ，且根据德莫佛-拉普拉斯中心极限定理计算可得P{X?60}? 0.0228 .（已知?(2)?0.9772）
4. 设总体X~N(?,1)，据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则?的置信水平为0.95的置信区间为（4.804, 5.196） （已知.z0.05?1.645,z0.025?1.96）
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
1．设事件A与B相互独立，P(A)??，P(B)?0.3，P(A?B)?0.7，求?． 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)， ------------2?
P(A)?1?P(A)?1?? -----------1?
又由A,B独立，可知A,B独立，则P(AB)?P(A)P(B)?(1??)?0.3
------------2?
所以 1???0.3?(1??)?0.3?0.7，解得
??37 ------------2? 2．已知随机变量X的概率密度为f(x)???ax?b,0?x?1，且15?0,其它P{X?2}?8，
求（1）a,b的值；（2）P{1?X?142}. 解
???11??f(x)dx?1??0(ax?b)dx?1?2a?b?1 ------------2? P{X?12}?58??13151(ax?b)dx?a?b282?8 ------------2?
解得a?1,b?12 -----------1? 第２４页 共30页
1P{14?X?1172}??12(x?)dx ------------2? 42?323．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???cxy,0?x?2,0?y?2?0,其它 （1）求常数c；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y);（3）判定X与Y的独立性，并说明理由． 解 （1）由
??????????f(x,y)dxdy??20?20cxydxdy?4c?1?c?14 2（2）f???1f(x,y)dy????04xydy,0?x?2???1?2x,0?x?2X(x)????
??0,其它??0,其它? 由对称性得f?12y,0?y?2Y(y)??
??0,其它（3）因fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X与Y相互独立．
-----------3?
4．设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求E(X),E(Y)及相关系数?XY.
解
X 0 1 p 0.5 0.5 E(X)?0.5 ------------2?
Y 0 1 p 0.7 0.3
E(Y)?0.3 ------------2?
又E(X2)?0.5，D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.25
E(Y2)?0.3，D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?0.21
XY 0 1 p 0.9 0.1
E(XY)?0.1
?X,Y)E(XY)?E(X)E(Y)0.1?0.5?0.31XY?cov(D(X)D(Y)?D(X)D(Y)?0.250.21??21
--------3?
四、应用题（本题8分）
设甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有1个白球，2个黑球.由甲袋中任取
一球投入乙袋，再从乙袋中任取一球. （1）求从乙袋中取出的是黑球的概率；
（2）已知从乙袋中取出的是黑球，求从甲袋中取出放入乙袋的也是黑球的概率. 解 设事件B表示从乙袋中取出的是黑球，事件A1表示从甲袋中取出一白球，事件
A2表示从甲袋中取出一黑球，由题意，有
第２５页 共30页
P(A)?35,P(A22312)?5,P(B|A1)?4,P(B|A2)?4, ---------2?
（1）由全概率公式，得
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?35?24?25?34?35.--------3? 23（2）P(A)?P(AA?2)P(B|2)2|BP(B)?543?12. --------3?
5
五、计算题（本题8分）
?1?13x设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x)???e,x?0?3，现对X?0,x?0进行4次重复独立观测，以Y表示 “观测值大于3”的次数， （1）写出Y的分布律； （2）求P{Y?1}．
解 （1）P{X?3}????1?13x33edx?e?1 ----------------2?
Y表示4次观测中“观测值大于3”的次数，则Y~b(4,e?1)，其分布律为
P{Y?k}?Ck1n(e?)k(1?e?1)n?k,k?0,1,2,3,4 --------------3?
（2）P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C0?10?144(e)(1?e)?1?(1?e?1)4 -------3?
六、计算题（本题8分）
??2设总体X的概率密度为f(x;?)??xe??x,x?0?0,其它,其中参数?(??0)未
知，x1,x2,?,xn来自总体X的简单随机样本. （1）求参数?的矩估计量； （2）求参数?的最大似然估计量.