四、计算题（本题8分）
设某仓库有一批产品，已知其中45%，35%，20%分别由甲、乙、丙厂生产，甲、乙、丙厂生产的次品率分别为 4%,2%,5%，现从这批产品中任取一件，求： （1）取得正品的概率？（2）假设已知取得的是一个正品，那么它出自甲厂的概率是多少？
解： 设A1?“取得的产品由甲厂生产”，A2?“取得的产品由乙厂生产”， A3?“取得的产品由丙厂生产”
，B?“取得的产品是正品”，-----------------------2? P(A451)?100,P(A35202)?100,P(A3)?100,P(B|A96100,P(B|A98951)?2)?100,P(B|A3)?100,?P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)
?45100?96100?35100?98100?20100?95100?0.965------------------------------------------3? P(AP(A1)P(B|A1)1|B)?P(A1)P(B|A1)?P(A
2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)45?4596100?96351004329820?-----------------------------------3? 100?100?100?100?100?95965100
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五、计算题（本题8分）
已知某电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为
?1500f(x)???x2,x?1500, ??0,其他.（1）1只这种电子元件寿命大于2000小时的概率为多少？
（2）在一批这种元件（元件是否损坏相互独立）中，任取出5只，其中至多有4只
寿命大于2000小时的概率是多少？
解：寿命在2000小时以上的概率p?P(X?2000)????15002000x2dx?34----------4? 设5只电子管中寿命在2000小时以上的个数为Y，则Y~B(5,34)---------------2?
?1?P(Y?5)?1?(32694)5?512-------------------------------------------------------------2?
六、计算题（本题8分）
已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X~N(?,?2)，?2?0.03，在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？
(显著性水平??0.05(?22.0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.7)
解：由题意建立原假设和备择假设H0:?2?0.03,H21:??0.03，---------------2?
拒绝域为?2?(n?1)s2?2??21??/2(n?1)或?2?(n?1)s2??2?2?/2(n?1).----2?
s2?0.0375, n?10, ?2??n?1?s29?0.0375?2?0.03?11.25,
因为?2?11.25<19.023,因此接受H0，-------------------------------------------3? 即这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异. ---------1?
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七、计算题（本题10分）
设总体X~P(?)，X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，样本均值为X，样本方差为S，其中?是未知参数，且??0， （1）试求?的最大似然估计量；
（2）试证：对一切?(0???1)，?X?(1??)S都是?的无偏估计； （3）试求?的一个无偏估计量。
解：（1）X服从参数为?的泊松分布，则P?X?x??n
?xx!e?x，
222
似然函数为L?????P?X?x??ii?1n?n?xii?1e?n?.----------------------------------------2?
i?x!i?1
?n?lnL????ln??xi?n??ln??xi!?，
i?1?i?1?nxidlnL????1ni?1??n?0.解得???xi?x.
d??ni?1n1??所以?的最大似然估计量为?Xi?X.------------------------------------------2? ?ni?1n（2）对一切?(0???1)，E(?X?(1??)S)??E(X)?(1??)E(S)
22????(1??)???，所以?X?(1??)S2都是?的无偏估计---------------------3?
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淮 海 工 学 院
5. 设E(X)?12，D(X)?3，则由切比雪夫不等式得P(X?12?4)?---（ C ）
09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（B
卷）
答案及评分标准
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 18 6 6 6 6 8 8 8 10 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．设一射手每次命中目标的概率为p,现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手射击了10次的概率为---------------------------------（ C ）
(A) C55?p)5 (B)C4454410p(110p(1?p)5 (C)C49p(1?p)5 (D) C59p(1?p)
2．设连续型随机变量的概率密度函数和分布函数分别为f?x?,F?x?，则下列选项中正确的是-------------------------------------------------------------------------------（ C ）
(A)0?f?x??1 (B)P?X?x??F?x? (C)P?X?x??F?x? (D)P?X?x??f?x?
3．已知(X,Y)的概率密度为f(x,y),则关于Y的边缘概率密度为---------（ A ） (A)?????f(x,y)dx(B)?????f(x,y)dy (C)?????xf(x,y)dx (D)
?????yf(x,y)dy
4．设X是一随机变量，则下列各式中正确的是--------------------------------（ D ）
(A)D(5?2X)?5?2D(X) (B)D(5?2X)?5?2D(X) (C)D(5?2X)??4D(X) (D)D(5?2X)?4D(X)
(A)
316 (B) 716 (C) 131516 (D) 16 6．设X1,X2,?,Xn是总体X?N?0,1?的一个样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，则------------------------------------------------------------------------------------（ B）
(A)X?N?0,1? (B)nX?N?0,n? n(C)?X22i???n?1? (D)XS?t?n?1?
i?17．设样本X?,?21,X2,?Xn来自正态总体N(0)，?0为常数，?未知，则?的置
信水平为1??的置信区间长度为------------------------------------------------------（ B ）
(A)
2?0zB) 2?0nz)2?0z2?0n? (? (C? (D)z? 22n1?2n8．X~N(?,?2)，?2已知，
假设检验H0:???0,H1:???0的拒绝域为--（ D ） (A) t?t??n?1? (B)t?t??n?1?
(C)
z?z? (D) z?z?
2222二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1 ．假设 P ? A ? ? 0.4, P ? A ? B ? ? 0.7, 若 A 与 B 相互独立，则
P?B??0.5。
2．设随机变量X?b?2,p?，Y?b?3,p?，若P?X?1??59，则P?Y?1??1027。 3．已知?X,Y?的分布函数为F?x,y?，关于X和Y的边缘分布函数分别是
FX?x?,FY?y?，则概率P?X?x0,Y?y0?
可表示为
1?FX(x0)?FX(y0)?F(x0,y0)。
4．已知X?N(?3,1), Y?N(2,1) 且X与Y相互独立, Z?X?2Y?7, 则
Z?N(?7,5)。
5．设X~b(100,0.2)， 利用德莫佛—拉普拉斯中心极限定理可得
P?X?30??0.0062， 其中?(2.5)?0.9938。
6．设总体X?N??,?2?，X,S2分别为样本均值和样本方差，n为样本容量，则
常用统计量T?X??S?t?n?1? 。
n三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）
1．已知P(B)?13，P(AB)=16，求P(AB)，P(AB)。
解： ?P(B)?13,P(AB)?16, ?P(A|B)?P(AB)1P(B)?2----------------------------3? P(AB)?P(B)?P(AB)?16-----------------------------------------------------3? 2．设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试写出X的概率密度函数f(x)，并求Y?e3X的概率密度函数fY(y)。
解： f(x)???11?x?2?0其他-----------------------------------------------------------------2?
g(x)?e3x,h(y)?113lny,h?(y)?3y
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??min?g(1),g(2)??e3,??max?g(1),g(2)??e6.---------------------------------2?
f(y)???fX[h(y)]?|h'(y)|,??y??,???1?3y,y?(e3,e6),Y?0,其他，--------------------2? ??0,其他.
3．设二维随机变量(X,Y)的分布律如右表。 Y X 1 2 3 求（1）关于X的边缘分布律； 0 0 1/4 1/4 （2）Z?X?Y的分布律
1 1/4 0 0 解：关于X的边缘分布律为-------------------------3? 2 1/4 0 0 X 0 1 2 p 0.5 0.25 0.25
Z?X?Y的分布律---------------------------------------------------------------------------3?
X+Y 1 2 3 4 5 p 0 0.5 0.5 0 0 4．若f(x)???k(1?x2),0?x?1,为某连续型随机变量X?0,其它.的概率密度函数，
求:（1）常数k； （2）E?X?。 解：解：由
?????f(x)dx?1,即?1k(1?x2)dx?301，可得k?2-----------------------2? E(X)????13??xf(x)dx??02x(1?x2)dx?38----------------------------------------------4?
四、计算题（本题8分）
某电子设备厂所用的元件由甲、乙、丙三家元件厂提供,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品, 则它出自乙厂的概率是多少? 解： 设A1?“取得的元件由甲厂生产”，A2?“取得的元件由乙厂生产”， A3?“取得的元件由丙厂生产”
，B?“取得的元件是次品”，----------------------2? P(A151)?100,P(A)?8052100,P(A3)?100,P(B|A2131)?100,P(B|A2)?100,P(B|A3)?100P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?15100?2100?80100?1100?53100?100?0.0125. -----------------------------------3? P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)P(A
1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)80?1?152100801001?16.------------------------------------------------3?
100?100?100?100?5100?325100
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五、计算题（本题8分）
设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)???8xy,0?x?y?1,?0,其他.?
求：（1）关于X的边缘概率密度；（2）P{X?Y?1}.
?解：ff(x,y)dy??1X(x)??????x8xydy0?x?1??,
??0其他???4x(1?x2)0?x?1,-----------------------------------------------------4??0其他
1P{X?Y?1}?(x,y)dxdy?x???fy?1?2dx?1?x08xydy?1x6.-------------------------4?
六、计算题（本题8分）
设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在0.05的显著性水平下，可否认为全体考生这次的
平均成绩为70分?(已知t0.05(35)?1.6896,t0.025(35)?2.0301)
解：由题意建立原假设和备择假设H0:??70,H1:??70，---------------------2?
拒绝域为：
t?t??n?1?.----------------------------------------------------------2?
2t?X??X?7066.S?n2.5， 统计量t?5?702.5?1.4
而t0.025(35)?2.0301?t?t0.025(35)--------------------------------------------------3? 故接受H0，即可以认为这次考试的平均分为70分-------------------------------1?