第四章 曲线运动
第一课时 考点梳理
知识结构
等时性合运动与分运动的关系等效性运动的合成和分解独立性合成与分解的法则—平行四边形法则平抛运动的条件:初速度水平;仅受重力曲线运动平抛运动研究方法:水平方向匀速运动;竖直方向自由落体运动1gt2)2S=x2?y2=(V0t)2?(2规律:VX=V0,X=V0t.Vy=gt,y=2gt12有关物理量及其关系πr=2V=2πfr=ωrT2S1,π2fV=t,ω=t,T=fω=2T=πVπa=rπ2f2r=4=ω2r=42r2φ匀速圆周运动F=ma=m应用实例:火车、自行车、飞机拐弯，汽车过拱桥，离心现象等轻绳束缚:Vmin=Rg圆周运动的临界条件轻杆束缚:Vmin=02mf2rπr=4π=mωVωr=m42r=mT2V2T2三、本章知识考查特点及高考命题趋势
本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高解决实际问题的能力。在高考中对本章知识的考查重点在于：（1）平抛运动在前几年的考题中都有所体现，在近两年考题中出现的几率较小，但仍要引起注意。（2）匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周运动的力学特点，要引起足够的重视，另外天体运动的考查都离不开匀速圆周运动。（3）本章中一些考题的特点是：一题中考查知识点多，有相当一部分是与电场、磁场、机械能结合的综合题，以及与实际生活、新科技、新能源等结合的应用性题型。
实用复习建议
掌握基础知识、基本概念，抓住处理复杂运动的基本方法——运动的合成与分解，能将所学的知识进行合理的迁移，在处理圆周运动问题时，要区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的区别，同时要首先确定圆心位置和圆轨道平面，认真分析向心力的来源。
第二课时
运动的合成与分解
一、考点理解
（一）曲线运动
1、物体做曲线运动的条件：运动物体所受的合力跟它的速度方向不在一条直线上。 2、曲线运动的特点：
（1）运动学特征：做曲线运动物体在某点的速度方向就是该点的切线方向，所以曲线运动的物体速度方向时刻改变，即速度矢量时刻改变。曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零。
（2）动力学特征：曲线运动物体所受合外力方向和速度方向不在一直线上，且一定指向曲线的凹侧。 3、曲线运动的轨迹与合外力方向的确定
（1）做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向。若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；若合外力为恒力且与初速度方向不在同一直线上，则物体做匀变速曲线运动。
（2）当物体受到的合外力的方向和速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大；当物体受到的合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体所受合外力的方向与速度方向垂直时，该力只改变速度的方向，不改变其大小。 （二）运动的合成与分解 1、合运动与分解
已知物体的分运动求合运动叫运动的合成，已知物体的合运动求分运动叫运动的分解。运动的合成和分解是解决曲线运动问题的基本方法，即较复杂的运动可以看作较简单的运动的合运动。必须明确：运动的合成和分解遵循矢量合成和分解的平行四边形定则；
2、合运动与分运动的关系
（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它运动的影响。 （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果。 3、合运动的轨迹与分运动性质的关系：
（1）两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
（2）一个匀速运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。
（3）两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在一条直线上，是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，是曲线运动。
4、运动的分解的两种基本方法：
（1）运动效果法：在实际问题中，一个运动到底应该怎样分解，可以根据合运动产生的效果，具体问题具体分析。
（2）功率相等法求合速度与分速度大小关系
在确定哪个运动是合运动，哪个运动是分运动时，要明白的一点是：实际轨迹上的运动永远是合运动。
二、方法讲解
1、运动的合成和分解的平行四边形法或三角形法
如图甲所示，人在船上匀速走动而船又在水中匀速航行。在某段时间内，如果船不动，人对岸的位移为AB；如果人不动，由于船航行造成人对岸的位移为AC。当
两位移同时存在时，在岸上的观察者所看到的人的合位移就是由平行四边形法则求出的AD。平行四边形法还可用更简单的办法来代替，如图乙所示，从A出发，把表示人对岸的两个分运动的位移AB、BD首尾相接地画出，则从A指向D的有向线段同样表示了人对岸的合运动的位移，这种方法叫运动合成的三角形法。
若人的两个分运动位移用S1、S2来表示，合运动位移用S表示，则：SAB甲CDAB乙D?S1?S2
速度和加速度的合成也可以按平行四边形法或三角形法表示，即：
???1??2，a?a1?a2
2、在实际问题中，有的是考查曲线运动的条件，有的是考查两分运动的独立性的性点，有的考查用三角形求极值问题，有的是利用分运动规律求解实际问题，一定要认真对待。
3、关于斜牵引运动的基本规律及分解方法
所谓“斜牵引运动”是指牵引方向与被牵引物体的运动方向不在同一条直线上，此时物体做变速直线运动。为了确定合运动与分运动的关系，一般应按如下步骤进行：
（1）确定合运动的方向——物体运动的实际方向就是合运动即合速度的方向。
（2）确定合运动的两个效果——一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是垂直牵引方向的转动效果，改变速度的方向。
（3）将合速度按平动、转动效果分解，确定合速度与分速度的大小关系。
三.考点应用
例 1:如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为?A，当OA绳与水平方向夹角为?时，求：（1）车运动的速度?B多大？（2）车B是否做匀速运动。
分析:此题的关键是分清合速度与分速度，并根据实际运动情况，确定速度的分解方向。 解答:（1）车前进的速度?B取决于船前进而使OB段绳子变短的快慢，可把?A分解为一个沿
BOθAVAV2绳子方向的分速度?B和一个垂直于绳的分速度?2，如图所示，所以车前进的速度?1应等于?A的分速度?1，即?B=?1=?Acos?。（2）当船匀速向前运动时，?角逐渐减小，车速度?B将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。
点评:（1）该题是速度的分解问题，船的前进速度?A产生了绳子的下拉速度?1（沿绳的方向）和绳子以滑轮为轴的转动速度?2。
（2）将船的速度?A分解时，每一位置的分解方法相同，但两个分速度的大小不同（因为?角变化） （3）让学生学会分析这类题的方法，该题就是速度的正交分解问题，因此，合速度一定大于分速度，在比较两个速度的大小时（如比较?A与?B的大小），可通过比较位移的大小来确定（因时间相同）。
例3：如图所示，一辆汽车通过轻绳和定滑轮将竖井中质量为m的重物吊起，开始左右两侧的绳处于竖直状态，且左侧的绳长为H，汽车静止不动，然后汽车向左行驶，当通过水平距离H时，汽车的速度达到?。求此过程中绳的拉力对重物做了多少功？
分析：此题考查的重点是运动的合成与分解，并要运用功能原理，解答时要分清合速度与分速度以及合速度与分速度的关系。
解答：设此时重物的速度为??，上升高度为h。根据功能原理，绳的拉力对重物所做的功，等于重物机械能的增量，即
V⊥θVAV1vv450V∥θHHvm
?2??① w?12m??mgh汽车沿水平方向向左运动有两个效果：一是使绳上各点沿绳平动，且平动的瞬时速率就是重物上升的速率；二是使绳绕左侧的定滑轮转动。因此，汽车的速度?应分解为相对绳垂直的分量??和平行的分量?‖，且平行分量的大小就是重物上升的速率，即
????‖??cos450?h?Hsin45022???②
根据三角函数的关系，重物上升的高度为：
?H?(2?1)H??③
所以，绳的拉力对重物做的功为：
2w?1m??(2?1)mgH 4点评：解决问题的关键在于分清合速度和分速度，并根据实际运动的情况，确定合速度的分解方向。若将本题运动的分解和绳受拉力的分解混同起来，很容易得出错误的结果，认为?m误的原因就在于不能正确分析合运动和分运动间的关系。
例4： 渡河问题是运动合成与分解的典型模型，在渡河问题的情景中，有四个重要的极值规律，下面将分别进行探究并证明。
情景：一条大河，设河岸平直，船相对水的速度为?船（即船在静水中的速度），水的流速为?水（即水对地的速度），船的合速度为?（即船对地的速度，其方向就是船的航向），河的宽度为L。
问题探究1：当船头垂直河岸，即?船VyαV船V船??/cos?。产生错
xVV水LVx(1)??水时，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。
证明：如图（1）所示，设船头与河岸的夹角为a，则渡河时间可以表示为：
1t??Ly??船Lsinα?sinα
当sinα?1，即α?900时，渡河时间最短，此时，tmin??L
船?水L?船这里应该注意：渡河时间与水的流速无关，水的流速只影响船下漂的距离，即：
x?(?水??船cosα)t?(?水??船cosα)?船Lsina 当α?900时，下漂距离为：x?
问题探究2： 在?船＞?水的条件下，当船的合速度垂直河岸时，渡河位移最小，并等于河宽，即Smin?L
V船αV(2)V水L证明：如图（2）所示，当合速度?的方向即船的航向垂直河岸时，船将达到正对岸，不会下漂，即x=0，位移最小为Smin?L。这时，船头与河岸的夹角应为α?arccos?水?船
问题探究3 ：在?船＜?水的条件下，当船头与船的合速度方向垂直，即?船 ??时，渡河位移最小。
证明：如图（3）所示，当?水恒定不变，?船的大小不变而方向变化时，根据矢量合成的三角
LV船xminsmin(3)αV水形法则，合速度?的矢尖总是在以?船为半径的圆周上；当?与圆相切，即?船??时，下漂距
α离（x）所对应的α角最小，下漂距最小，总位移（s）最小。这时，船头应指向上游，与河岸的夹角即为α，其大小应为：α?arccos?船?水
这时，最小下漂距离和最小位移分别为：
xmin?Ltanα，
LSmin?cosα
问题探究4： 船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即?船的速度最小，并等于水的流速沿垂直航线的分量。
??时，船相对水
证明：如图（4）所示，设航线OA与河岸的夹角为α。为了沿此航线到达对岸，首先必须保证合速度?的方向与航线重合。为了使船相对水的速度最小，在同样条件下消耗功率最少，只有船相对水的速度与水的流速沿垂直航向的分量等值反向，才能保证船在垂直航线方向的速度为零。所以，船对水的最小速度为：
?船min?????水sinα??水LOA
船渡河的速度?的大小就等于?水平行航线的分量，即?位移为：
??水cosα。此时，船沿航线方向的运动
s??t?(?水cosα)t
通过对渡河问题的深入探究，可以帮助我们加深理解运动的合成与分解中的相关问题。
点评：小船同时参与两个运动，随水漂流和船在静水中运动，由于分运动之间的独立性和等时性，不管?水和?船大小如何，当??最大时，渡河耗时最少，所以小船正对对岸航行时??=?船为最大；由?船与?水组成的平行四边形可知，当?船＞?水时，故航程最短为河宽；当?船＜?水时，?合可以垂直于对岸，
?合不可能垂直于对岸，航程最短为
四、课后练习
L.?水
?船
。这种情况要特别注重其分析方法。
1、（1999年上海）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向改变而大小不变（即由F变为—F）。在此力作用下，关于物体以后的运动情况下，下列说法正确的是（ ）
A、物体不可能沿曲线Ba运动 B、物体不可能沿直线Bb运动 C、物体不可能沿曲线Bc运动 D、物体不可能沿原曲线B返回A
vABcbaLV船(4)OV⊥V∥αVV水A2、（2001年全国）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，