与收费站中心线的距离d＝10 m。乙车过人工收费通道，需要在中心线前某位置开始做匀减速运动，至中心线处恰好速度为零，经过20 s，缴费成功后再启动汽车匀加速行驶恢复原来速度。已知甲、乙两车匀加速过程的加速度大小均为a1＝1 m/s2，匀减速过程的加速度大小均为a2＝2 m/s2。
图5
(1)甲车过ETC通道时，从开始减速到恢复原来速度过程中的位移大小是多少？
(2)假设人工收费通道前有一列车队在匀速行驶，车距都为Δx2，当前一辆车从中心线启动行驶78.125 m时，后一辆车刚好停在中心线上，则Δx2为多大？
(3)假设有两列车队分别从ETC通道和人工收费通道通过，通过ETC通道的车队匀速行驶时相邻两车间均相距Δx1＝120 m，通过人工收费通道的车队匀速行驶时相邻两车间距均为Δx2，则每小时从ETC通道多通过多少辆车？
解析 (1)甲车过ETC通道时，减速过程的位移为
2
v22－v1x1＝，可得x1＝50 m
－2a2
2
v21－v2
加速恢复原来速度的位移x2＝，可得x2＝100 m
2a1
所以总的位移x总＝x1＋d＋x2＝160 m。
(2)乙车在中心线处的停车时间t1＝20 s，匀加速78.125 m 的时间t2＝＝12.5 s
由于没有等待时间，即后一辆车和前一辆车做减速运动的时间是相同的，因此后一辆车比前一辆车到达中心线处的时间晚(t1＋t2)，故两车正常行驶时的车距等于在前一辆车停车时间和加速时间内以速度v1匀速行驶的距离，即Δx2＝v1(t1＋t2)＝487.5 m。
(3)由于没有等待时间，每小时通过收费站的车辆即正常行驶时每小时通过某点的车辆数，因此
ETC通道每小时通过的车辆数 v1t15×3 600n1＝＝(辆)＝450(辆)
Δx1120
26
2x0 a1
人工收费通道每小时通过的车辆数 v1t15×3 600n2＝＝(辆)≈110(辆)
Δx2487.5ETC通道多通过Δn＝n1－n2＝340辆车。 答案 (1)160 m (2)487.5 m (3)340辆 建模点拨
试题由道路交通抽象而来，解决问题的关键是灵活运用知识把实际问题转化为常见物理模型。(2)、(3)两问的难点是变通计算时间间隔，以匀速代变速，以简单解复杂。(3)问中，通过两个通道车队的减速或停车缴费只会影响车到达目的地的时间，而不会导致车辆的流量减小，即车辆流量跟匀速运动时是一样的。
1．(2017·广东广州综合测试)电梯经过启动、匀速运行和制动三个过程，从低楼层到达高楼层，启动和制动可看作是匀变速直线运动。电梯竖直向上运动过程中速度的变化情况如下表： 时间0 (s) 速度0 (m/s) 则前5 s内电梯通过的位移大小为( ) A．19.25 m
B．18.75 m
C．18.50 m
D．17.50 m
2.0 4.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 因电梯启动过程可看作是匀变速直线运动，再由题中表格数据可看出在前1 s内有：v1＝at1，得a＝2 m/s2，又电梯启动的末速度v＝5 m/s时，则有v＝at，得启动过程所用时间511
t＝ s＝2.5 s，则前2.5 s内的位移大小为x1＝at2＝×2×(2.5)2 m＝6.25 m，2.5～5 s内匀速222运动，位移大小为x2＝5×(5－2.5) m＝12.5 m，所以前5 s内位移大小为x＝x1＋x2＝18.75 m，B项正确。 答案 B
2．在娱乐节目《幸运向前冲》中，有一个关口是跑步跨栏机，它的设置是让观众通过一段平台，再冲上反向移动的跑步机皮带并通过跨栏，冲到这一关的终点。现有一套跑步跨栏装置，平台长L1＝4 m，跑步机皮带长L2＝32 m，跑步机上方设置了一个跨栏(不随皮带移动)，跨栏到平台末端的距离L3＝10 m，且皮带以v0＝1 m/s的恒定速率转动，一位挑战者在平台起
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点从静止开始以a1＝2 m/s2的加速度通过平台冲上跑步机，之后以a2＝1 m/s2的加速度在跑步机上往前冲，在跨栏时不慎跌倒，经过2 s爬起(假设从摔倒至爬起的过程中挑战者与皮带始终相对静止)，然后又保持原来的加速度a2，在跑步机上顺利通过剩余的路程，问挑战者通过全程所需要的时间？
图6
1
解析 匀加速通过平台：L1＝a1t2，
21通过平台的时间：t1＝
2L1＝2 s， a1
冲上跑步机的初速度：v1＝a1t1＝4 m/s， 1
冲上跑步机至跨栏：L3＝v1t2＋a2t2，
22解得t2＝2 s。
摔倒至爬起随跑步机移动距离： x＝v0t＝1×2 m＝2 m，
取地面为参考系，则挑战者爬起向左减速过程有：v0＝a2t3， 解得t3＝1 s。
1
相对地位移为：x1＝v0t3－a2t2＝0.5 m。
23
1
挑战者向右加速冲刺过程有：x＋x1＋L2－L3＝a2t2，
24解得t4＝7 s。
挑战者通过全程所需的总时间为 t总＝t1＋t2＋t＋t3＋t4＝14 s。 答案 14 s
思维转化法的应用——将“多个物体的运动”等效转化为“一个物体的运动” 【方法概述】 将几个物体的独立运动放在一起进行研究，彼此间可能会产生干扰，这样远没有研究一个物体的运动那么直接、明了，如果能将多个物体的运动等效为一个物体的运动，自然会简化研究过程。
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【思维训练1】 取一根长2 m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘，在线端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别是36 cm、60 cm、84 cm，如图7所示。站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘，松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5各垫圈( )
图7
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大 B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)
解析 把多个铁垫圈的运动转化为一个铁垫圈的自由落体运动。根据题意可知每两个相邻垫圈之间的距离差都为24 cm，由Δx＝aT2可知垫圈落到盘上的声音时间间隔相等，选项A、D错误，B正确；由v＝gt可知垫圈依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶4，选项C错误。 答案 B
【思维训练2】 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对斜面上正在运动着的小球拍下部分照片，如图8所示。现测得AB＝15 cm，BC＝20 cm，已知小球在斜面上做匀加速直线运动，且加速度大小相同。求：
图8
(1)小球的加速度大小； (2)拍摄时B球的速度大小； (3)D、C两球相距多远；
(4)A球上面正在运动着的小球共有几颗。 解析 (1)由Δx＝aT2得
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ΔxBC－AB0.20－0.15a＝2＝＝ m/s2＝5 m/s2。 22TT0.1(2)vB＝
AB＋BC0.15＋0.20
＝ m/s＝1.75 m/s。 2T2×0.1
(3)由Δx＝DC－BC＝BC－AB得
DC＝BC＋(BC－AB)＝20 cm＋5 cm＝25 cm。 (4)小球B从开始下滑到图示位臵所需的时间为 vB1.75
tB＝＝ s＝0.35 s
a5
则B球上面正在运动着的小球共有三颗，A球上面正在运动着的小球共有两颗。 答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)25 cm (4)两颗
1．(2016·全国卷Ⅲ，16)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍。该质点的加速度为( ) sA.2 t
3s B.2 2t
4sC.2 t
8sD.2 t
1
解析 动能变为原来的9倍，则物体的速度变为原来的3倍，即v＝3v0，由s＝(v0＋v)t和a
2＝
v－v0s
得a＝2，故A对。 tt
答案 A
2．(2015·江苏单科，5)如图9所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8 m设有一个关卡，各关卡同步放行和关闭，放行和关闭的时间分别为5 s和2 s。关卡刚放行时，一同学立即在关卡1处以加速度2 m/s2由静止加速到2 m/s，然后匀速向前，则最先挡住他前进的关卡是( )
图9
A．关卡2
B．关卡3
C．关卡4
D．关卡5
v
解析 由题意知，该同学先加速后匀速，速度增大到2 m/s用时t1＝＝1 s，在加速时间内通
a1
过的位移x1＝at2＝1 m，t2＝4 s，x2＝vt2＝8 m，x1＋x2＝9 m＞8 m已过关卡2，当关卡关闭
21t3＝2 s时间内该同学在关卡2、3之间又通过了x3＝4 m，关卡打开，t4＝5 s，x4＝vt4＝10 m，
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