直线l：20x+30y=c在可行域内 l 平行移动.
易知：当l过l1与l2的交点时， l1 x
S取最大值.
?x?2y?20?x?10 由? 解得?
5x?4y?70y?5?? 此时
Smax＝20?10?30?5＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为
max z?20x1?10x2
?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13
?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线
l1:5x1?4x2?24
l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内
平行移动x2 .
l1
l2
x1
l
第一章作业解答第 11 页 共 58 页
易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值
?5x1?4x2?24?x1?4由? 解得 ?
2x?5x?13x?12?1?2 zmax?20?4?10?1?90.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：
max S=3x +2y
?2x?3y?100? s.t. ?4x?2y?120
?x?6,y?12,x,y?Z?这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解
可行域为：由直线l1：2x+3y=100,
l2:4x+2y＝120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时, S取最大值.
由??2x?3y?100 解得
?4x?2y?120第一章作业解答第 12 页 共 58 页
?x?20. ??y?20
Smax＝3?20?2?20＝100.
《数学模型》作业解答
第五章1（2008年11月12日）
1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明： （1）若s0至s?. （2）若s0?1?1,则i(t)先增加，在s?1?处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少
??,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s?.
解：传染病的SIR模型（14）可写成
?di?dt??i(?s?1) ?
ds????si?dtdsds由???si,知?0. s(t)单调减少. 而s(t)?0. ? lims(t)?s?存在.
t??dtdt故s(t)单调减少至s?.
（1）若s0 当?1?. 由s(t)单调减少. ?s(t)?s0.
di?0,i(t)单调增加;
?dt1di??0,i(t)单调减少. 当s?时,?s?1?0. ?dt?s?s0时,?s?1?0. ?(18)式知i? 又由书上?0. 即limi(t)?0.
t??1第一章作业解答第 13 页 共 58 页
di?0. ?i(t)达到最大值im.
?dt11di ?0. （2）若s0?,则s?t??, 从而?s-1?0.??dt 当s?1时,limi?t??0.即i? ?i?t?单调减少且t???0.
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
a?4. b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
?dx?dt??ay?dy???bx, ???1? ?dt?x?0??x,y?0??y00??0?a?现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A???
?b0???E?A??a??2?ab?0. ??1,2??ab b???2??2????1,?2对应的特征向量分别为?1??，?1?? ?????x?t????2?????1?的通解为?C1??y?t???1??e????再由初始条件，得
abt?2???C2??1??e??abt.
第一章作业解答第 14 页 共 58 页
?x?x?t???0?y0?e?2?abt?x???0?y0?e??2?abt ???2?
又由
?1?可得dy?bx.
dxay222?bx2?k, 而k?ay0?bx0 ???3?
其解为 ay22ay0?bx0kb3(1) 当x?t1??0时，y?t1????y01??y.
aaa20即乙方取胜时的剩余兵力数为
3y. 20又令xt1???0,由（2）得?x0???y0?e?2?abt1?x???0?y0?e??2?abt1?0.
注意到x0?y0,得e2abt1?x0?2y02. ?e2y0?x0abt1?3, ?t1?ln3. 4b(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则
?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4? ?dt?x(0)?x,y?0??y00?由?4?得dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy. 相轨线为ay2?2ry?bx2?k, dy?bx2r?r2?222k?ay0?2ry0?bx.0或a?y???bx??k. 此相轨线比书图11中的轨线上移了
a?a?第一章作业解答第 15 页 共 58 页