???????????1234???? ??????????1223312?????1?2?3???4???, 则 对（7）作变换：????12 ?3?p??q?0,
1?2?218?3?3?2?2), q?(????) 其中 p?(2???34124126?q??1?3??2??q?用卡丹公式：??2?w3??2??q23??w???32??其中w?qpqqp()2?()3?3??()2?()323223qpqqp()2?()3?w23??()2?()3 23223qpqqp()2?()3?w3??()2?()323223?1?i3, 2求出?1,?2,?3，从而得到?1,?2,?3，于是得到所有特征根
??1的条件.
2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(yk?yk?1).试建立2关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk设曲线
?f(xk)和xk?1?g(yk?yk?1). 2f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：
yk?y0???(xk?x0),??0 ----------------------（1）
xk?1?x0??(yk?yk?1?y0),??0 --------------------（2） 2从上述两式中消去yk可得
第一章作业解答第 26 页 共 58 页
2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?， -----------（3）
上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：
容易算出其特征根为
2?2????????0
????(??)2?8?? ---------------（4） ?1,2?4当???8时，显然有
????(??)2?8?????2??? -----------（5）
44从而
?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2??1,2?1，必须 ???2．
??2
要使特征根均在单位圆内，即
故P0点稳定平衡条件为
???2．
3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk).试建2立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1设曲线
?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：
yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2 由（2）得
xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）
xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3）
?x0????(xk?1?xk?x0) 2（1）代入（3），可得xk?2第一章作业解答第 27 页 共 58 页
?
2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
容易算出其特征根为
2?2????????0
????(??)2?8?? ---------------（4） ?1,2?4当???8时，显然有
????(??)2?8???? -----------（5） ?2???44从而
?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2??1,2?1，必须 ???2．
??2
要使特征根均在单位圆内，即
故P0点稳定平衡条件为
???2．
《数学模型》作业解答
第八章（2008年12月9日）
1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1） A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2） A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A满足
aij?ajk?aik，i,j,k?1,2,?,n
于是对于任意两列i,j，有
aik?aij，?k?1,2,?,n?.即i列与j列对应分量成比例. ajk从而对A作初等行变换可得：
第一章作业解答第 28 页 共 58 页
?b11b12?0初等行变换?0A??????????00这里B?0.?秩?B??1，
?b1n??0??? B ?????0??A??1
?c1n??0???C ?????0?再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA?B，于是
?c11c12?00?1?1PAP?BP???????00易知C的特征根为c11,0,?,0（只有一个非零特征根）.
又?A～C，?A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c11，又?对于任意矩阵有?1??2????n?Tr?A??a11?a22???ann?1?1???1?n.故A的唯一非
零特征根为n.
（2）对于A的任一列向量
有
?a1k,a2k,?,ank?T，?k?1,2,?,n?
A?a1k,a2k,?,ank?T?n??n?aaa??1jjk???1k??jn?1??jn?1??na1k??aa??a??na2k?2jjk????2k?????n?a1k,a2k,?,ank?T ????j?1???j?1??????n??n??na???anjajk???ank??nk????j?1???j?1???A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?T都是对应于n的特征向量.
7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.
解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3?1?4?5?2?3.所以此竞赛图是双向连通的.
1 3 2 第一章作业解答第 29 页 共 58 页 5 4
4?5?1?2?33?1?4?5?2
等都是完全路径.
此竞赛图的邻接矩阵为
2?4?5?3?15?3?1?2?4
?0?0?A??1??0??1令e?1000101011110000?0??0? ?1?0???1,1,1,1,1?T，各级得分向量为
S?1??Ae??2,2,1,2,3?T， S?2??AS?1???4,3,2,4,5?T， S?3??AS?2???7,6,4,7,9?T ， S?4??AS?3???13,11,7,13,17?T
由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.
注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根?和对应特征向量S得到：
,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769?T ??1.8393，S??0.2137数学模型作业（12月16日）解答
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
解：目标层 越海方案的最优经济效益
准则层
省收岸间当地建筑
时 入 商 业 商业 就 业
方案层 建桥梁 修隧道 设渡轮
第一章作业解答第 30 页 共 58 页