②当h?rN/4，??0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0?N. 2xrx2rx，F'(x0)?0 不能断定其稳定性. )??r?NNNdxxrN?0．?x0不稳定； 但?x?x0 及x?x0 均有F(x)?rx(1?)??0 ，即
N4dtF'(x)?r(1?③当h?rN/4，??0时，得到两个平衡点：
N?1?x1?易知：x14h4hNN?1?NrN rN， x?222NN ， x2? ，F'(x1)?0 ，F'(x2)?0 22??平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.
(2)最大持续产量的数学模型为
?maxh ?s.t.F(x)?0?x即 maxh?rx(1?)，
NNrN*x1 x2 易得 x0? 此时 h?， N/2 24N*但x0?这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
2要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?h?rN/4 h?rN/4 h?rN/4 rx?1?x/N? x NNN，且尽量接近，但不能等于． 222'x2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：
中r和N的意义与Logistic模型相同．
?t??rxlnN．其
x设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h?Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0．
解：x?t?变化规律的数学模型为
*dx?t?N?rxln?Ex dtx 记 F(x)?rxlnN?Ex xE?N① 令F?x??0，得rxln?Ex?0 ?x0?Ner，x1?0．
x第一章作业解答第 21 页 共 58 页
?平衡点为x0,x1 . 又?F'?x??rlnN?r?E，F'?x0???r?0,F'?x1???． x? 平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.
y rxlnN x
②最大持续产量的数学模型为：
0 y?Ex y?f?x?
rN eN ex0 x
?maxh?Ex? N?s.t. rxln?Ex?0,x?0.?x?由前面的结果可得 h?ENe?Er
EE?dhdhEN?r?Ner?e，令?0. dErdE得最大产量的捕捞强度Em?r．从而得到最大持续产量hm?rN/e，此时渔场鱼量水平
*x0?N． edx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.
3．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：1．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
2．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0. 解：1．x(t)变化规律的数学模型为
00*dx(t)x?rx(1?)?h dtNxxr2x?rx?h?0----（1）记f(x)?rx(1?)?h,令 rx(1?)?h?0 ，即
NNN0??r2?4rh4h?r(r?) ， （1）的解为：x1,2?NNN?1?24hNrN
① 当??0时，（1）无实根，此时无平衡点；
第一章作业解答第 22 页 共 58 页
② 当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为x0?N. 2xrx2rx')??r? ，f(x0)?0 不能断定其稳定性. NNNxrNdx?0 ，即?0?x0不稳定； 但?x?x0 及x?x0 均有f(x)?rx(1?)?N4dtf'(x)?r(1?③ 当??0时，得到两个平衡点：
N?N1?x1?易知
2x1?4h4hN?N1?rN ， x?rN
22NN ， x2? ?f'(x1)?0， f'(x2)?0 22?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.
2．最大持续产量的数学模型为：
0?maxh ??s.t.f(x)?0
xNrNN**maxh?rx(1?)， 易得 x0? 此时 h?，但x0?这个平衡点不稳定.
N242NNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?,且尽量接近,但不能等于.
222即
《数学模型》第七章作业
（2008年12月4日）
1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和
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xk?1?g(
yk?yk?1并讨论稳定平衡条件. ).试建立关于商品数量的差分方程模型，
23． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
《数学模型》作业解答
第七章（2008年12月4日）
2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
（2）若除了yk?1由xk?1和xk决定之外，xk?1也由前两个时段的价格yk和yk?1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：
x?xk??yk?1?f(k?1) ? 2?xk?1?h(yk)? 在P0(x0,y0)点附近用直线来近似曲线
f,h，得到
x?xk??yk?1?y0???(k?1?x0),??0 ?(1) ? 2??xk?1?x0??(yk?y0) , ??0 ?(2) 由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) ?(3)
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（1）代入（3）得 xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0
对应齐次方程的特征方程为 2?2????????0
????(??)2?8?? 特征根为?1,2?
4当???8时，则有特征根在单位圆外，设???8，则
?1,2?(??)2?8???? ?()??2424??2 ??1,2?1 ? ???2
即平衡稳定的条件为 ???2与P207的结果一致.
（2）此时需求函数、供应函数在P0(x0,y0)处附近的直线近似表达式分别为：
xk?1?xk??x0),??0 ?(4)?yk?1?y0???(2 ? y?ykk?1?xk?1?x0??(?y0) , ??0 ?(5)2?由（5）得，2(xk?3?x0)?β(yk?2?y0?yk?1?y0) ?(6)
将（4）代入（6），得 2(xk?3x?xx?x???x0)?????(k?2k?1?x0)??(k?1k?x0)?
22??? 4xk?3???xk?2?2??xk?1???xk?4x0?4??x0
对应齐次方程的特征方程为 4?3????2?2???????0 ?(7)
αβ??, ?不是（7）的根.设（7）的三个非零根分24代数方程（7）无正实根，且???, ?别为?1,?2,?3，则
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