f???g????0,且g?0??0,f?0??0,g????0,f????0,则??0??0,2??,使
f??0??g??0??0.
模型求解:令h(?)?再由
f(?)?g(?) .就有h(0)?0, h(?)?f(?)?g(?)?0?g(?)?0.
f???,g???的连续性,得到h???是一个连续函数. 从而h???是?0,??上的连续函
数.由连续函数的介值定理：
??0??0,??,使h??0??0.即??0??0,??,使
f??0??g??0??0.
又因为????0,2??,有f???g????0.故f??0??g??0??0.
9． （1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？
解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标， 第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示 ，第二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有交点
p0(t0,d0),
两天都在t0时刻经过d0地点. x
d
方法二：设想有两个人， (?) 一人上山，一人下山，同一天同 p0
时出发，沿同一路径,必定相遇. d0 (??) t
早8
t0 晚5
f(t)(即t时刻
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为走的路程为
f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离
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为a(a>0).由题意知：f(8)?0,则有h(8)?f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),
f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是
时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[8,17],使h(t0)?0,即
f(t0)?g(t0).
（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若2k?1?n?2k，则需赛k轮.
2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk).试建2立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1设曲线
?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：
yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2 由（2）得
xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）
xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3）
?x0????(xk?1?xk?x0) 2（1）代入（3），可得xk?2 ?
2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
容易算出其特征根为
2?2????????0
????(??)2?8?? ---------------（5） ?1,2?4第一章作业解答第 37 页 共 58 页
当???8时，显然有
????(??)2?8???? -----------（6） ?2???44从而
?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2??1,2?1，必须 ???2．
??2
要使特征根均在单位圆内，即
故P0点稳定平衡条件为
???2．
dx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.
3．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水平
*x0.
解：（1）.x(t)变化规律的数学模型为
dx(t)x?rx(1?)?h dtNxxr2x?rx?h?0----（1）记f(x)?rx(1?)?h,令 rx(1?)?h?0 ，即
NNN??r2?4rh4h?r(r?) ， （1）的解为：x1,2?NNN?1?2N. 24hNrN
① 当??0时，（1）无实根，此时无平衡点； ②当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为x0?xrx2rx')??r? ，f(x0)?0 不能断定其稳定性. NNNxrNdx?0 ，即?0?x0不稳定； 但?x?x0 及x?x0 均有f(x)?rx(1?)?N4dtf'(x)?r(1?③ 当??0时，得到两个平衡点：
N?N1?x1?易知
2x1?4h4hN?N1?rN ， x?rN
22NN ， x2? ?f'(x1)?0， f'(x2)?0 22?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.
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（2）．最大持续产量的数学模型为：
?maxh ??s.t.f(x)?0
xNrNN**maxh?rx(1?)， 易得 x0? 此时 h?，但x0?这个平衡点不稳定.
N242NNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?,且尽量接近,但不能等于.
222即
5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：
品种 甲 乙 原材料 2 3 能源消耗(百元) 1 6 劳动力(人) 4 2 利润(千元) 4 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000
人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.
解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为
maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400 x?6y?2400
4x?2y?2000x?0,y?0,x,y?Z模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400
l3:4x?2y?2000及x?0,y?0组成的凸五边形区域.
直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值. 由??2x?3y?1400 解得：x?400,y?200
?4x?2y?2000Smax?4?400?5?200?2600（千元）.
故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元. 6. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种
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货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为
max z?20x1?10x2
?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13
?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线
l1:5x1?4x2?24
l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内
平行移动x2 .
l1
l2
x1
l
易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值 由?
?5x1?4x2?24?x1?4 解得 ?
2x?5x?13x?12?1?2 zmax?20?4?10?1?90.
7.深水中的波速v与波长?、水深d、水的密度?和重力加速度g有关，试用量纲分析方法给出波速v的表达式. 解：设v,?,d,?，g 的关系为[
00
[?]=LMT，f(v,?,d,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，
d]=LM0T0，[?]=L-3MT0， [g]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.
---------4分
量纲矩阵为
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