rr?b2r2?.乙方取胜的条件为k?0,亦即?y0???x0?2. aa?aa?2第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为?）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
中心室
f0?t? C?t?,x?t?
V 解: 设给药速率为
排除 V, kf0?t?,中心室药量为x?t?,血药浓度为C?t? ,容积为排除速率为常数k,则x/?t??kx?t??f0?t?,x?t??VC?t?.
(1)快速静脉注射: 设给药量为D0, 则
f0?t??0,C?0??D0D,解得C?t??0e?kt. VV(2)恒速静脉滴注(持续时间为?): 设滴注速率为k0，则f0?t??k0,C?0??0,解得
?k0?kt1?e, 0?t???Vk C?t???
k?01?e?kte?k?t???,t???Vk????(3) 口服或肌肉注射:
f0?t??k01D0e?k01t?见5.4节（13）式?，解得
?k01D0?k01t?kte?e,k?k01??V?k01?k? C?t??? kD?te?kt, k?k01??V??3种情况下的血药浓度曲线如下：
第一章作业解答第 16 页 共 58 页
(1) (2) (3) O ? t
第五章3（2008年11月18日）
8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设M?800mg,l1?80mm,l2?20mm,b?0.02,??0.08,??50mm/s,a?0.3
求Q和Q1/Q2.
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到l1处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
abl1?0.08?200.7?0.02?80?????aw0v??vl2?0.3?10?50v5050?????229.857563Q?/e1?e?e1?e(毫克)
????0.7?0.02ab????/?其中w0?M/l1?10?，
???b?l2?0.08?0.02??20??Q1v50 ?e?e?0.97628571Q2第一章作业解答第 17 页 共 58 页
a'bl??aw0v?(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为Q3?‘?1?ev?
?ab???abl2??1?aw0v?bl只吸到l1处就扔掉的情况下的毒物量为Q4?'ev?1?ev?
??ab??'a'bl???blabl0.02?1000.3?0.02?100e?1?ev???vv50Q3e?ee?e50e0.04?e0.012????bl1?0.02?80?0.0320.0096?1.256531719.abl10.3?0.02?80bl1?a'bl1?Q4e?e?v?e50?e50e1?ev?ev?ev????blvQ3?295.84, Ｑ4?235.44
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
a?4. b?dx?dt??ay?dy???bx, ???1? ?dt?x?0??x,y?0??y00?现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A???0?a? ???b0??E?A??a??2?ab?0. ??1,2??ab b?第一章作业解答第 18 页 共 58 页
???1,?2对应的特征向量分别为?1??，?1?? ?????x?t????2?????1?的通解为?C1??y?t???1??e????再由初始条件，得
??2??2?abt?2???C2??1??e??abt.
?x?x?t???0?y0?e?2?abt?x???0?y0?e??2?abt ???2?
又由
?1?可得dy?bx.
dxay222?bx2?k, 而k?ay0?bx0 ???3?
其解为 ay22ay0?bx0kb3(1) 当x?t1??0时，y?t1????y01??y.
aaa20即乙方取胜时的剩余兵力数为
3y0. 2又令xt1???0,由（2）得?x0???y0?e?2?abt1?x???0?y0?e??2?abt1?0.
注意到x0?y0,得e2abt1?x0?2y02. ?e2y0?x0abt1?3, ?t1?ln3. 4b(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则
?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4? ?dt?x(0)?x,y?0??y00?第一章作业解答第 19 页 共 58 页
由?4?得dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy. 相轨线为ay2?2ry?bx2?k, dy?bx2r?r2?222k?ay0?2ry0?bx.0或a?y???bx??k. 此相轨线比书图11中的轨线上移了
a?a?rr?b2r2?.乙方取胜的条件为k?0,亦即?y0???x0?2. aa?aa?
2《数学模型》作业解答
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
(1)分别就h?rN/4，h?rN/4，h?rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t的渔场中鱼的数量为x?t?，则由题设条件知：x?t?变化规律的数学模型为
dx(t)x?rx(1?)?h dtN记F(x)?rx(1?(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由F?x??0，得rx(1?即
x)?h Nx)?h?0 ． N4rh4h?r(r?) ， NNr2x?rx?h?0??????????1? N??r2?N?1?(1)的解为：x1,2?24hNrN
①当h?rN/4，??0，(1)无实根，此时无平衡点；
第一章作业解答第 20 页 共 58 页