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个完全数.
1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.
6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+...+31=31*32/2 .... 2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2
n-1
n
n
n
n
2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),
22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73
26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153 .... 2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3
3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如:
1/2+1/3+1/6=1
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1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 ....
4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.
第三章 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1 计算：
分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具
有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示
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正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
例2 计算下式的值：
2113555+4453789+5553789+2113445．
分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解 原式=(2113555+2113445)+(4453789+5553789)
=2113(555+445)+(445+555)3789
=21131000+10003789 =10003(211+789)
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=1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
例3 在数1，2，3，?，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，?，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?
+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非负数是1．
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说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化． 2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)3(100-2)的值： (100+2)3(100-2)
=1003100-23100+23100-4 =1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
例4 计算 300132999的值．
解 300132999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999．
例5 计算 103397310 009的值．
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