精英培养计划B方案
解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．
例6 计算：
分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
例7 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
分析 式子中2，22，24，?每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．
解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)3(216+1)(232+1)
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=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)3(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=?? =(232-1)(232+1) =264-1．
例8 计算：
分析 在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2．
这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)． 本题就是一个例子．
通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．
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例9计算：
我们用一个字母表示它以简化计算．
1．
观察算式找规律
例10 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
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90320+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799，
平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例11 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值．
分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法． 解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ① 再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+?+3+1． ② 将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+?+2000+2000(1000个2000) =200031000． 从而有 S=1000 000．
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说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．
例13 计算 1+5+52+53+?+599+5100的值．
分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解 设
S=1+5+52+?+599+5100， ① 所以
5S=5+52+53+?+5100+5101． ②
②—①得 4S=5101-1，
说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
例14 计算：
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