精英培养计划B方案
因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n． (2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．
由表18．2容易发现
a1＝1， a2-a1＝1， a3-a2＝2， a4-a3＝3， a5-a4＝4， ?? an-1-an-2＝n-2， an-an-1＝n-1．
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n个式子相加
注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．
例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？ 分析与解 我们先来研究一些特殊情况：
(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个． (2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．
这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．
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(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．
这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．
通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，?，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
例4 设132333?3n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！
31＋2！32＋3！33＋?＋n！3n. 分析与解 先观察特殊情况：
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(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1； (2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1； (3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1； (4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1． 由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1. 下面我们证明这个猜想的正确性．
1+原式=1+(1！31＋2！32＋3！33+?+n！3n) =1！32＋2！32＋3！33+?+n！3n =2！+2！32＋3！33＋?+n！3n =2！33+3！33+?＋n！3n =3！+3！33+?+n！3n＝? =n！+n！3n=(n＋1)！， 所以原式=(n+1)！-1.
例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．
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分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有
x3＜x2+x+2．①
设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以
x3＞x2+x+2．②
设x=100，则有x3＞x2+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则
x3-x2-x-2＝0， (x3-x2-2x)＋(x-2)=0， (x-2)(x2+x+1)=0．
因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样 (1)当x=2时，x3=x2+x+2；
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