图4.4中整形滤波器的传输函数可以表示为： H(z)=??(??)=1+∑??1
1??.???????=1??
（4-1）
上式，分子部分代表的是MA（移动平均）部分，其分母A(z)代表的是AR部分，模型的结果由噪声源的方差??2和滤波器系数组成????。
在自回归模型中，若输入是方差为??2均值为0的白噪声x[k],则系统经过整形滤波器输出是一零均值平稳随机信号，流程原理如下：
图4.5自回归模型理论
x(k)与y(k)有如下的关系：
y(k)=?∑????=1????.??(?????)+??(??) （4-2） 根据自相关函数的定义，两边同乘y(k-m),并且两边一同取期望，得到y(k)的自相关函数为
??
????(??)=?∑??????[??(?????)??(?????)]+??[??(??)??(?????)]
??=1
=?∑????=1????????(?????)+??????(??) （4-3） 上式中??????(??)为输出与输入噪声信号的互相关函数，有互相关规律得： ??????(??)=????(m)?h(?m)=??2?(???) （4-4） 由于m>0时，h(-m)=0,且根据Z变换的性质: h(0)=
???
+∑????=1??????)=1
0 ??≠0
所以 ??????(??)={2 （4-5）
?? ??=0
??????
??→∝??(??)=lim??→∝1/(1
?∑????=1????????(?????) ??>0则 ????(??)={ （4-6） ??2∑()???=1??????????+?? ??=0上式称为AR模型的尤勒-沃克方程（Yule-Walker）,简称Y-W方程，它给出了平稳随机信号AR模型输出信号的自相关函数????(??)与系统模型参数????的关系，取m=0,1,2….,p,可用P+1个方程表示，利用平稳随机信号的自相关函数是偶函数的特点，可写成矩阵形式如下
第21页共 58页
（4-7）
由上面的矩阵可看到，P+1个方程组存在P+1个待求量，理论上是可以求解的，但是P的大小决定这数据量大小，也就是说模型的阶数需确定，AR模型定阶是求解AR模型系数的关键一步，也有一些人员是事先设定一个方差阈值，不断的循环判断达到阈值，则停止，但是却没给出一个准则来判断什么样的收敛程度是符合要求的，目前定阶的方法一般有两类：信息量准则法和线性代数法，其中信息量准则法包含有：FPE法、AIC准则法、BIC准则法、MDL法等，线性代数法包含有：Levinson-Durbin（LD）快速递推法、Gram-Schmidt（GS）法和奇异值分解法，但由于奇异值分解法一般需要计算矩阵的秩，计算量大，不易于工程实时实现，LD快速递推法是目前线性代数法用的比较多的一种，另外信息量准则法中的FPE法与AIC准则法具有有效简单，故本次设计采取FPE、AIC准则法和LD快速递推法结合实现定阶与求解尤勒-沃克方程组
4.1.3 AR模型的定阶之FPE准则与AIC准则
选择合适的AR模型阶数是AR模型功率谱估计和AR模型准确的一个重要问题，阶数选择太高，会产生很多的虚假谱峰，导致谱估计方差性能的下降，选择太低，则分辨率太低，偏差比较大，尽管Levinson-Durbin递推法给出了随阶数提高的AR模型参数估计方法，但是并没有给出定阶的方法，也有文献给出修正的Levinson-Durbin法，是在事先确定一个收敛因子，进行递推运算，实际上是在递推中判断方差的收敛程度。但是我们并不知什么样的收敛程度是符合要求的，本文选取目前在信息论的时间序列处理应用的最广泛的两种方法：FPE和AIC准则法
FPE（Final Prediction Error）最终预测误差准则由日本统计学家赤池弘次 (Akaike)于1971年提出的,用以识别AR模型的阶数。，其定义为FPE（p）=(N+p)*??2/(N-p),其中N为观测序列样本个数，p为所选模型阶数，??2为模型残差方差，取FPE值最小时阶数为模型最适阶数。
AIC（AkaiKe Information Criterion）赤池弘次信息量准则是衡量统计模型拟合优
第22页共 58页
良性的一种标准，是由日本统计学家赤池弘次创立和发展的。赤池信息量准则建立在熵的概念基础上，可以权衡所估计模型的复杂度和此模型拟合数据的优良性。AIC可以表示为AIC（p）=N*ln??2+2P,其中 N为观测序列样本个数，p为所模型阶数，??2 为模型残差方差，取AIC值最小时阶数为模型最适阶数[16]。
在对背景噪声进行最优阶数确定时，阶数一般不超过观测序列的1/3，下面是对某次统计的背景噪声进行阶数确定的结果情况：由于序列长度为2500，选取的阶数P应在833阶内，实际上应该是远小于这个阶数（超过200阶的时候虚假峰已经非常严重），下面是某次统计下的结果：
图 4.6 AIC与BIC 准则随阶数增加，其值变化图
将其放大后，可看到都在55阶的时候有最小的值，按照理论原则，选择AIC值最小的55阶作为其最优阶数：P=min(AIC);P=min(FPE);对比是否一致，如果一致，P就是最优阶数；不一致，两种都构造，看实际结果符合情况。
第23页共 58页
x 104x 10 AICFPE6-7-3.6-3.7 501001502002503004350
图4.7 AIC与FPE 放大图
4.1.4 Levinson-Durbin快速递推法
在尤勒-沃克方程中，当阶次p较高时，计算量非常大，1947年，N.Levinson提出一种求解模型参数的算法，1960年，A.R.Durbin改进了这种算法，这就是著名的Levinson-Durbin算法，应用这种算法去求解Y-W方程快速且有效，它是从1阶开始，然后逐阶递推由p-1阶模型参数递推求解出p阶模型参数的计算方法，在式（4-7），当p=1，得到1阶的Y-W方程如下：
2
????(0)+??1(1)????(1)=??1
{ （4-8）
????(1)+??1(1)????(0)=0
??(0)解此方程得： { （4-9）
22
??1=????(0)[1???1(1)]
??1(1)=???
????(1)
当p=2时，得到2阶的Y-W方程如下： ??2(2)=
2(1)???(0)??(2)????????
2(0)???2(1)??????
=?
[????(2)+??1(1)????(1)]
2??1
（4-10）
??2(1)=??1(1)+??2(2)??1(1) （4-11）
222() ??2=??1[1???22] （4-12）
当p=3,4,5,6………,找出其规律，可得到其p阶的通用递推公式如下： ????(p)=?
[????(??)+∑??=1?????1(?????)????(?????)]
2?????1???1
（4-13）
第24页共 58页
????(i)=?????1(i)+????(p)?????1(p?i) （4-14）
222() ????=?????1[1???????] （4-15）
由上式递推公式，可求得p阶AR模型的p个系数????(1)，????(2)，????(3)……????(p)和高斯白噪声的方差??2
4.1.5 背景噪声模型参数实例计算
上面说过对背景噪声进行建模是基于多组噪声数据统计的结果，所以对数据的预处理很重要，因为要对脉冲噪声的识别与提取出去，并且在原噪声数据点上进行高斯分布在白噪声填补，下面是30组数据经过预处理后的平均值波形
平均噪声波形0.010.0080.0060.0040.002幅值0-0.002-0.004-0.006-0.008-0.01-1-0.50time0.51x 10-5
图4.8室内低压电力线信道背景噪声
20x 10-6噪声信号的自相关函数151050-5-5-4-3-2-101234x 105-5
图4.9 信道背景噪声自相关波形
第25页共 58页