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K、硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究
Q(x)=0允r一艿眨=(AX-B)7’(AX-B)=X丁A 7’趔一2xrArB+BrB (2．3．7) 对Q(x)关于x求导并令其为0得： 2彳r似一2A 7’B：0 (2．3．8)
从而由最小二乘原理得到的目标估计位置为： X=(Ar么)一A 7’B (2．3．9)
在线性方程组中，对于独立方程个数大于等于未知数个数的情况，公式(2．3．9)即 为采用最小二乘原理得到的通用公式，将在2．4节的定位算法中用到。
对三维立体情况其原理相同，只是需要用到球体而不再是二维空间中的圆来进行求 解了，显然三维空间至少需要四个球即四个节点才能定位一个目标。
多边测量定位算法引入更多的传感器节点参与目标定位，定位时产生更多的定位信 息，逐步逼近目标的真实位置，理论上参与定位的节点越多，定位就越精确。 2．4基本目标定位方法
已知声音能量在空气中的衰减模型，在各个节点检测到目标声音能量后，将信息汇
总并通过定位算法对目标位置进行估计。常见的基于声音能量强度的目标定位方法[34,35] 主要有极大似然估计定位算法、最小二乘估计定位算法，通过对模型的变换最小二乘估 计定位算法又分为非线性最小二乘估计定位算法、线性最小二乘估计定位算法和联合线 性最小二乘估计定位算法。
2．4．1极大似然估计定位算法(ML)
极大似然估计的思想是：通过若干次试验得到某个随机样本，已知该随机样本 满足某种概率分布，但是其中具体参数未知待定，若某个值能使样本出现的概率 最大，则将该值作为参数的估计值，实际操作中则是将似然函数达到最大值时的 参数值作为参数的估计值[36-37]。
由声音能量衰减模型式(2．2．3)可知，yAt)为条件正态随机变量，其满足密度函数
为Ⅳ(＆瓦暑兰了+戌，z)的正态分布，模型已假设背景噪音。o)~Ⅳ(o，砰)，所以鸬20， q可由各个节点根据环境噪音测得，这里假设q均为仃。未知的参数为声源能量S(t)和 目标位置r(t)，通过n个节点的检测得到来自总体的样本(y。(f)，Y2(f)，．．．，Y。(f))，则关于s(t)
和r(t)的似然函数可以表示为式(2．4．1．1)：2基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法 硕士论文
郴∽以m：n告一掌：士1 P一上20\?t=l静 泣4^。， 琊(吐心))-珥赤 2” 2丽两P +““矾”。 (2．4．1．1) 邵∽“嘞一{一吉牡蜀满]2} 汜4^2，
求式(2．4．1．2)达到最大值时的S(t)和“t)等价于求式(2．4．1．3)达到最小值时的S(t) 和r(t)。
郴∽以嘞oc融卜尚]2} 他4^3，
实际算法中将给出未知量的迭代初值，迭代求得的未知量估计值更多的是使 ￡(S(f)，r(f))达到局部极小值而非全局最小值。
械(2．4．1．3肿的专鹕后燃瞰朝乱一岛尚j戌舸崤 出求解该似然函数最小值时的未知参数的过程实际上就是利用最小二乘原理求解未知
参数的过程，所以其实极大似然法是最小二乘法的基础，求解式(2．4．1．3)时即可采用 最Jj,--乘原理。
2．4．2非线性最小二乘估计定位算法(NLS)
极大似然估计定位算法中包含了对声源能量s(t)的求解，似然函数非常复杂，而S(t) 并非目标参数，以下要讨论的非线性最小二乘估计定位算法则通过对声音能量衰减模型 的变换，消去S(t)，并采用最小二乘原理对目标进行定位【38-39]。
假设在t时刻有n个传感器节点对声源进行定位，由式(2．2．3)可知第i个节点检测到 的声音能量值为：
胁g，尚删(f∈行) (2．4．2．1)
第j个节点检测到的声音能量值为： 啪)-毋尚吲州川√∈功 (2．4．2．2)
14硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究
Ir(t)-r,I=[訾]-- Ir(,)-rA=[等]_- 式(2．4．2．3)比式(2．4．2．4)，令比值为％，则有： 乃= 丝盟二堡塑×鱼 yj(t)一cj(t)gi (2．4．2．3) (2．4．2．4) (2．4．2．5)
式(2．4．2．5)中％为一大于零的常量，由于实际过程中t时刻的背景噪音占(f)无法从 北，中分离单捌量，所以实际中％=鹋×汀，这一变换过程相对于删以然估 计定位算法产生了误差，但在信噪比很高即y(t)》占(f)时可以忽略不计。 对式(2．4．2．5)中的乃= 两边平方展开得： (1-kU2)，．2(f)一2(‘一向2rj)r(t)+ri2一屯2，：『2=o (2．4．2．6) 分两种情况讨论：
(1)当％=1时，式(2．4．2．6)变为： (，；-伽)：孚 令％=，；-。，岛：华删有： Vijr(t)=9{ (2．4．2．7)
(2)当乃>oRk,j≠1时，对式(2．4．2．6)两边同除以(1一乃2)并关于，(f)凑平方得： 卜一等]2_搿 ㈦429，2难十声音能置强度的无线倍感％嘲络目标定位方法 顼l：论文 令岛=等，岛=剖删有： №)一弓12=毋2 (2 4210)
可以看出式(2 4210)和式(2 34)中的距离方程是类似的，即通过变换将声音能
量衰减模型转化为了多边测蹙形式，此时目标位置在以q为中心，bI为半径的d维超 球面上，二维情况下d_2为圆面，三维情况ICd=3为球面。
假设节点i和j的坐标分别为【-2，0]和[2，o]，下面讨论超球面半径与比值％的关系： (1)当o<岛<1时，如图2．4 21所示，随着比值b的增加，目标位置所在圆周的半 径连渐增大。
溷 圈24 2i O (2)当b>1时，如图2 422所示·随着比值岛的增加，目标位黄所在圆周的半径 逐渐减小。 ，『 ∞ ” ∞ 。 ．： { *顿±论文 基十声音能量强度的无线传感％网络目标定位研究 图24 22岛>1时l岛l与％的关系 对于不同的比值和节点坐标．将会得到不同的圆周，理论上这些圆周的唯一交点即 为目标位置坐标，但实际中由于存在检测误差这些圆交点不唯一而会产生重叠区域，可 采用最小二乘原理求取目标位置。 综合两种情况，用下标m代替下标日，目标估计位置就是式(2 4211)中』达到最 小值时的吖t1的值： z=圭l_川)一成|2+羔忆r)一co p—h||2 其中H为比值为1的方程个数，％为比值非1的方程个数。实际算法中将给出目标位 置的选代初值，迭代求得的目标位置估计值更多的是使f达到局部极小值而非全局最小 值。 而一般情况下节点检测的能量值由于自身位置和环境噪音的共同影响不可能相同， 噪音影响系数取相同值，所以h≠1，可以认为目标位置均满足式(2 4 210)，目标估 计位置就是式(2 4212)中正达到屉小值时的一t)的值： 正=∑№)一L 其中N为所有方程个数。对于n个节点，每两个不同的节点组合可以得到一个方程 】72基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法 硕士论文 共可以得到Ⅳ：c。2：巫等尘个方程，理论上由于采用了比值％；相互独立的方程个数 只有n．1个，对于d维超球面，至少需要d+1个独立的公式(2．4．2．10)，故至少需要有d+2 个传感器节点的声音能量读数，但实际中由于非独立的方程误差不同，采用最小二乘原 理时非独立的方程也会起作用。 2．4．3线性最小二乘估计定位算法(Ls) 非线性最d,-乘估计定位算法虽然将目标源能量s(t)消去，但关于目标位置r(t)l幂J方 程仍然是二次方程，计算量仍然很大。仿照2．3节多边测量定位算法中解方程组的方法， 线性最小二乘估计定位算法是在非线性最d'-乘估计定位算法的基础上通过线性变换 消去目标位置r(t)的平方项，将方程组线性化从而降低了算法的复杂度【29,40】。 假设在t时刻有n个传感器节点对声源进行定位，i，j，k，1是其中四个节点且比值 ％≠1，％≠1，利用第i，j个节点检测到的声音能量值，由式(2．4．2．10)可知目标位置 满足式(2．4．3．1)： l，(0-Co．[2=岛2 (2．4．3．1) 同理，利用第k，1个节点检测到的声音能量值可知目标位置满足式(2．4．3．2)： I，◇)一％J2=耽2 (2．4．3。2) 将式(2．4．3．1)和式(2．4．3．2)分别展开后相减消去，2(f)可得式(2．4．3．3)： 2(Cu-C|ia)r(t)=(C：f，2一岛2)一(巳2一耽2) (2．4．3．3) 其中G、％、岛、砌2．4．2节已给出，可根据节点位置和节点检测的能量值计算 得到。令?=2(G—G)，％=(q2一岛2)一(q2一砌2)，则有： ?r(t)=口洌 (2．4．3．4) 2．4．2节已说明由于t时刻节点背景噪音不能单独测量，故导致超球面方程(2．4．3．1) 和(2．4．3．2)都存在一定的误差，由于线性最,b-乘估计定位方程组中的每个方程利用 了两个超球面方程来消去二次项，所以误差也较之增大了。 用下标m代替下标ij姐，综合式(2．4．2．8)和式(2．4．3．4)，目标估计位置就是式(2．4．3．5) 中六达到最小值时的r(t)的值： 以=芝l圪r(f)一尾12+∑l?尸(f)一口。12 (2．4．3．5)硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究 其中na为比值为1的方程数，n2为比值非1的方程数。可见关于r(t)的方程组均为线 性的，可用线性最小二乘公式直接解得。而一般情况下节点检测的能量值由于自身位蛊 和环境噪音的共同影响不可能相同，噪音影响系数取相同值，所以％≠l，％≠1，可以 认为目标位置均满足式(2．4．3．4)，目标估计位置就是式(2．4．3．6)中工达到最小值时的 Jv ． 五=∑阮，．(f)一口。12 (2．4．3．6) 也会起作用，对于n个节点有M：c：：巫冬尘个超球面方程，每两个超球面方程可化成 一个线性方程，所以有Ⅳ：c磊：掣个线性方程。 [三≥]rcr，=[三二] (2．4．3．7) 扯阱褂贿：2基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法 硕士论文 了节点检测误差的引入HJ。由于采用线性最小二乘公式解线性方程组，所以保茸S(t)开 不会过多地影响算法的复杂度。 假设在t时刻有n个传感器节点对声源进行定位，由式(2．2．3)知第i个节点(i∈n)检 测到的声音能量值为： 胁蜀尚州力 (2．4．4．1) 对式(2．4．4．1)进行变换得： ㈨一，；12=厕giS(t) (2．4．4．2) 同理，对第j个节点(_，≠f，J∈以)有： ∽一冉而gyS(t) (2．4．4．3) 将式(2．4．4．2)和式(2．4．4．3)分别展开后相减消去r2(f)得： 2c咋一，：，，，．cr，+[而gi一·y／(tigL．，it)\，2-亏c2．4．4．4， 令％=[2cI一。，，而gi一而gj]，岛=‘2一，：，2，贝u式c2．4．4．4，可表 示为式(2．4．4．5)： ％嘲=岛 泣4A5， 其中％N-4\×3的矩阵，r(t)为--+2×1的矩阵表示目标源坐标，由于t时刻节点 背景噪音不能单独测量，故实际中％中的第三列取ig西i一万g西／，这即是该算法的误差 所在，但在信噪比很高即y(t)》占(f)时可以忽略不计。 用下标m代替T)}gij，目标估计位置和目标源能量估计值就是式(2．4．4．6)中六达到 最小值时的“t)和S(t)的值： 石=剿m=l甜既l 2 @4A6， 石=∑1％I戳l-既I (2．4．4．6) l u、‘，l 其中N为所有方程个数，对于n个节点，每两个不同的节点组合可以得到一个方程，硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究 故可以得到Ⅳ：c。2：丛等尘个方程，理论上由于采用了两两相减，相互独立的方程个数 脚蚓 ㈦钳∽ 令矽=[≥]，乡=[≥]，贝u有： ∥唑’I：口 (2．4．4剐 嘲邓切)-l矿乡 (2．4．4．” 2．5本章小结 本章介绍了声音的有关概念和定义，描述了声音传播的有关规律，基于此规律提出 了声音能量衰减模型，基于此模型提出了极大似然估计定位算法、非线性最小二乘估计 定位算法、线性最小二乘估计定位算法，并结合他们的优缺点提出了声源能量和位置联 合估计的联合线性最小二乘估计定位算法，对这些算法的定位精度和复杂度进行了初步 的理论分析和比较。 21硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究 3基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法改进 3．1对基本目标定位方法的加权改进 第2章介绍了四种基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法，极大似然估 计定位算法虽然定位精度较高但算法较为复杂，一般在实际应用中不采用；非线性最小 二乘估计定位算法通过对衰减模型的变换消去了无关未知量，但由于变换过程中掺入了 测量误差导致定位精度较极大似然估计定位算法有所下降；线性最小二乘估计定位算法 在非线性最小二乘估计定位算法的基础上通过对超球面方程的变换将方程组线性化，降 低了算法复杂度，但一个线性方程的确定需要更多的节点参与，变换过程中掺入了更多 的测量误差导致定位精度较非线性最小二乘估计定位算法又进一步降低；联合线性最小 二乘估计定位算法则是保留目标源能量为未知参数，将方程组线性化的同时又减少了确 定方程所需节点的数量，提高了精度的同时又大大降低了算法复杂度；为了保留最小二 乘定位算法相对于极大似然定位算法复杂度小的优势，又不使精度随之降低，需要在最 小二乘估计定位算法中引入权值矩阵对目标进行定位估计修正。可以证明，在背景噪音 信号为独立分布的随机信号条件下，当权值取噪声协方差的倒数时，目标位置的估计均 方误差最小【421。 3．1．1加权非线性最／ix-乘估计定位算法(wNLS) 假设在t时刻声源目标进入了由n个声音传感器节点组成的无线传感器网络，各个节 点检测到的声音能量值互不相同，各个节点噪音影响系数相同，由声音能量衰减模型式 (2．2．3)知节点i检测到的声音能量值为： 蹦f)_舀器鸲∽ (3．1．1．1) 其中gi为节点i的噪音影响系数且不为0，s(t)为t时刻的声源能量，di(f)=I，(f)一，；I 为节点i与声源目标之间的欧几里德距离，乞(f)～N(O，仃；)为t时刻节点i的背景噪音能 量值。 对式(3．1．1．1)两边同除以舀，则有： 巡：卫+业 (3川．2) ·-‘-—-一：=一■-——：———一 I’ll／J gt lr(f)一玎 gf 令曩0)：地，所(f)：巡，则有：3基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法改进 硕