七论文
啪)2尚删 (3．1．1．3)
其中乃(f)～N(0，写)。对式(3．1．1．3)进一步变换得到： s(f)=Ir(t)-rfl2 hi(t)-彰(f)以(f) (3．1．1．4) 同理，对节戊(．，≠i)也有： s(f)=l，．(f)一乃j2 hj(t)-d}(t)yj(t) (3．1．1．5) 式(3．1．1．4)与式(3．1．1．5)相减得： l，．o)一r,12忽o)一dE(t)yi(t)=lro)一012乃o)一巧o)乃(f) (3．1．1．6) 已假设岛(f)≠五形)，将式(3．1．1．6)关于r(t)展开并凑平方得：
卜一篝鬻]2_篙掰+一㈦¨m 因为hi(t1≠0，故(3．1．1．7)可以变换为： √，、，；一。而kj(t ) r(‘)一昔 1一!：：
姆嘲；睁等一剖靠％篙竽删式 (3．1．1．8)燹为： l尸(f)一CIf『12=岛2+白 (3．1．1．9)
比较式(3．1．1．9)和式(2．4．2．10)发现两式的砀、C：f『、岛完全相同，在不加权的 非线性最小二乘估计定位算法中忽略了噪声项磊，加权非线性最小二乘估计定位算法正 是利用此项来确定加权系数的。磊是一个与节点背景噪音能量值、目标源与节点的距离 以及节点检测的声音能量值相关的复杂随机变量。
用下标m代替下标ij，未加权时，目标估计位置就是式(3．1．1．10)中丘达到最小值 簖硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究 时的r(t)的值：
五：∑N№)一巴H?112
其中N为所有方程数，对于n个节点可以得到Ⅳ=c。2=巫专尘个方程。式(3．1．1．10) 中的五可用矩阵表示为： 其中A(r)= Ir(t)-C,I Ir(f)一ql
五=(么(r)一B)r(么(，．)一B) ，B 2 训 ； IA
而加权非线性最小二乘估计定位算法利用到噪声项氧，乞，．．．，靠， 式(3．1．1．12)中石达到最小值时的r(t)的值： 石=(彳(r)一B)7’WI(A(r)一B) 目标估计位置就是
兵中彬为权值矩阵。为减少计算量，近似认为噪声项￡，乞，．．．，靠相互独立，则彤为 一个Nx N的正定对称加权矩阵，最优权值为噪声协方差的倒数[29,43,45]。
醐白=华辫，忽略噪音项泐舢式(3．1．1．3)知珊)≈嚣， 啦，≈嚣删白≈鼎隅～Y训j(t)1 mc驴o，从而噪声乞的协方勃：
e{t‘-o—E(乞)】[白一E(乞)】}=E(毛乞)=D(白)+E2(毛)=D(乞)
≈[尚]2[鑫+岳2]Q^L13’ 1％O)一^，0)I I醇O)g，2 厅，(f)g，2 I 令％=而妨[志+岳卜有： ￡(乞白)≈S2(f)％ (3．1．1．14)
目标源能量平方S2(f)不会影响加权目标定位，可以省略，若各节点背景噪音方差
都相同则也可以省略。
为方便表达用?代替嘞，则加权非线性最小二乘估计定位算法的权值矩阵彬可以 表示为：3基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法改进 硕士论文 ％=疣昭(去，．．。1?，．．，1?] 加权后，由于权值的影响，噪声项小的方程受信任的程度大，导致方程组中每个方
程的受信赖程度不同，使得定位精确度较不加权有了修正和提高，而从权值矩阵的公式 可以看出加权系数的引进不会过多地增加计算量，相比较极大似然估计定位算法来说算 法复杂度还是相对较小的。
3．1．2加权线性最dx--乘估计定位算法(WLS)
假设在t时刻声源目标进入了由n个声音传感器节点组成的无线传感器网络，各节点 检测到的声音能量值互不相同，各节点噪音影响系数相同，由式(3．1．1．9)知目标位置 坐标满足：
l，(f)一G12=岛2+白 (3．1．2．1) №)一％12=砌2+乞 (3．1．2．2) 其中f≠／，尼≠，，且有岛>o，％≠1，％>o，％≠l，将式(3．1．2．1)和式(3．1．2．2) 分别展开后相减消去r2(f)可得：
2(岛一巳)尸(f)=(岛2一岛2)一(％2一砌2)+(乞一白) (3．1．2．3)
比较式(3．1．2．3)和式(2．4．3．3)可以发现在不加权的线性最小二乘估计定位算法 中忽略了噪声项氕一乞，加权线性最小二乘估计定位算法正是利用此项来确定加权系数 的。
令?=2(Co．一巳)，％=(q2一岛2)一(02一砌2)，?=氕一白，则式(3．1．2．3) 变为：
嘞尸(f)=Q彬+? (3．1．2．4)
用下标irl代替下标ijkl，未加权时，目标估计位置就是式(3．1．2．5)中石达到最小值 时的“t)的值：
石=∑阮厂(f)一级12 (3．1．2．5)
其中N为所有方程数，对于n个节点可以得到Ⅳ：cⅣ12：型旦}尘个方程，其中 Ⅳl：C：：—n(_n-1)。式(3．1．2．5)中的五可用矩阵表示为：硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究
其中P=[三]，Q=[兰]。由线性妄小二乘公式c2&9，得到未加权时目标的估计 ，0)=(PrD—PrQ (3．1．2．7)
而加权的线性最小二乘估计定位算法利用到噪声项墨，恐，．．．，氐，目标估计位置就是 式(3．1．2．8)中石达到最小值时的“t)的值： 石=(P，．O)一Q)7’W2(Pr(t)一Q) (3．1．2．8) ，．(f)=(∥％P)一Pr吸Q (3．1．2．9)
其中呒为权值矩阵。为减少计算量，近似认为噪声项蜀，Rz，．．．，RN相互独立，则权 值矩阵％为一个Nx N的正定对称加权矩阵，最优权值仍然为噪声协方差的倒数【43喇】。 因为E(R，ju)=O，噪声R0\／的协方差为：
E(??)=E[(乞一乞)(白一乞)]=E(乞白)+E(厶氕)一2E(乞厶) (3．1．2．10) E(岛白)≈s2(t)cou (3．1．2．11) E(厶乞)≈Sz(f)％ (3．1．2．12) 舯：％2而蓊[志+烈 ?=南[赢+禹] ?2而丽l而嚣+而奔j 下面讨论式(3．1．2．10)中的￡(乞厶)项：
以矧≈E{蒜∞一矧蔷?∞一篇]} ]㈦坨∞， ： 兰：g! EI丝g!丝!垒一丝g!丝!尘一丝!尘丝(尘
士丝g!丝竺!l [名(f)一乃o)][忽o)一岛Q)】。l曩o)％o) 矗，o)么o)曩o)岛o)。五，o)岛o)l 273基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法改进 硕士论文 已知i≠_，，k≠，，基于此前提分情况讨论： 当i≠．Jf≠k≠，时，E(乞乞)≈0； 当i≠，≠，，i=k时， E(白乞)≈丽河而S2(而t) E
ra(t)。] =——-—-—-——-—-—---·--·-·—————-—-—-—-----——二----—-——----————--——·—--一 s2(f)砰
[名O)一Jiz，O)][吮O)一向0)]蟛O)g； 当i≠／≠k，i=，时， ％”丽焉?而E[_鬻] =一·---------·___________-_--_--------__-—--_-_二---I_--_---------——----·---一 s2(f)砰
[岛(f)一hy(t)][hk(t)一岛(f)】砰O)g； 当i≠／≠，，_，=k时，
％缈丽蒜黯而E[_鬻] =一·------—--—---—---—--------------------二------··---—-·--·—--·—-—-一 s2(f)盯；
[忽o)一乃o)][％o)一岛(f)]劈0)g； 当i≠／≠尼，／=，时，
％缈丽斋％丽d舔] 一 s2(f)巧
[吃(f)一哆o)】[玩(f)一岛(f)]劈o)g；
综合式(3．1．2．10)至(3．1．2．17)得： E《、R嘲R∞H、)≈S2(t)rvn
其中：硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究 Z舛2
％+％ z≠J≠庀≠f 20-2
嘞+％一—[hi—(t—)-—hj—(t—)]—[hk—(tL)-—h—t(t—)]h—／z一(t)gZi 20-2 ％+％+而再顽丽丽西莉两两 20---v÷ ％+％+丽F丽湎而ji丽 20---v： 吩+％一面F丽丽而ji丽 i≠J≠J『，i=k i≠_，≠k，i=Z i≠j≠l，j=k i≠j≠k，j=l
目标源能量平方S2(f)不会影响加权目标定位，可以省略，若各节点背景噪音方差 都相同则也可以省略。
为方便表达用?代替?，则加权线性最小二乘估计定位算法的权值矩阵％可以表 示为：
吸=妞b专．，吉] @他∽，
加权线性最d,--乘估计定位算法的加权矩阵相对于加权非线性最d,-．乘估计定位
算法来说要复杂得多，在计算加权系数时还需要进行判断分类，尽管加权后定位的精度 有很大的提高，但是加权后的线性最小二乘估计定位算法比加权前复杂度大大地增加 了。
3．1．3加权联合线性最小二乘估计定位算法(WULS)
． 假设在t时刻声源目标进入了由n个声音传感器节点组成的无线传感器网络，由式 (3．1．1．3)知对于节点i目标位置坐标满足： 驰)2尚删 (3．\．1)
对式(3．1．3．1)进行变换得：
九垆器峨心)-r／-+‘警 (3．1．3．2)
其中di(f)=l，|(f)一‘I。同理，对节岗(／≠f)也有：
以归嚣心心川+警 (3．¨．3)3基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法改进 硕士论文
式(3．1．3．2)和式(3．1．3．3)相减消去／．2(f)得： 2c¨M卅1万一南卜砘2∞+％ ㈦\舢
舯％=警一警。嵫加-3舢和加A4一以发现蜊口 权的联合线性最小二乘估计定位算法中忽略了噪声项％，加权联合线性最小二乘估计
定位算法正是利用此项来确定加权系数的。％是一个与节点背景噪音能量值、目标源 与节点的距离以及节点检测的声音能量值相关的复杂随机变量。 令乇=卜训，丽1一南]，％《吖刷加^3m可表示为扪^3舢： “辫巧+％ (3．1．3．5)
其中厶为一个1×3的矩阵，r(f)为一个2×1的矩阵表示目标源坐标。用下标m代替
下标ij，未加权时，目标估计位置和目标源能量估计值就是式(3．1．3．6)中石。达到最小 值时的r(t)和S(t)的值： 小兰m=ll厶嘲氐l 2
㈦\∽ 石。=∑川。羰l一疋，l (3．1．3．6) l oV，l l
其中N为所有方程个数，对于n个节点可以得到Ⅳ=c。2=丛荨尘个方程。式(3．1．3．6) 中的Z。可用矩阵表示为： fo=(J斟Fr(t叫)]瑚，嘲吲㈦mm
其中，=[≥]，K=[乏1。由线性最小二乘公式c2&9，得到未加权时目标的估 嘲叫∽。rK (3．1．3．8)
而加权的联合线性最小二乘估计定位算法利用到噪声项少。，∥：，．．．，yⅣ，目标估计位置硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究
和目标源能量估计值就是式(3．1．3．9)中石。达到最小值时的r(t)和s(t)的值： ～嘲吲Ⅶ／嘲删 @\
由线性最小二乘公式得到加权后目标的估计位置和目标源能量估计值为： 酗州咐护％K 具甲职为秘值斑陴。为城少计舁重，也似认为崃户坝奶，％，．．．，yⅣ布目且刁姒且，则仪
值矩阵职为一个NxN的正定对称加权矩阵，最优权值仍然为噪声协方差的倒数【4¨。 醐炉警一警脚噪音项的矾怵3．1．1．3溯讯归嚣， 彰2(t，≈器删％砖∽[器一卷J叔脚{，)=o，腼孵％眦方差札 E{[％一E(％)][吩一E(％)】}=E(％％)=D(吩)+E2(％)=D(％) ∥∽[志+蒯 。^3-。
令乃2志+赢删氰 E(go．gf『)≈S2(f)乃
目标源能量平方S2(f)不会影响加权目标定位，可以省略，若各节点背景噪音方差 都相同则也可以省略。
为方便表达用丸代替乃，则加权联合线性最小二乘估计定位算法的权值矩阵彤可 以表示为：
呢=妞b?1百1) 与加权线性最d,-乘估计定位算法比较，加权联合线性最d,-乘估计定位算法的权
值矩阵要简单得多，这样既保证了线性最小二乘算法的优点，又简化了权值矩阵，在提 高了定位精度的同时复杂度也没有大幅增加。 3．2对加权定位算法方程个数的改进
假设有n个节点参与定位，根据3．1节的算法分析，对于加权非线性最小二乘定位算 3l3基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位方法改进 硕上论文
法和加权联合线性最小二乘定位算法分别可以得到C：个方程，对于加权线性最小二乘 定位算法可以得到cⅣ12：掣个方程，其中M：c厅2：下n(n-1)，与此同时各加权算法 。 二 二
得到与方程个数同样多的加权系数。可以试想一下，当节点数n=lO时，加权非线性最小 二乘定位算法和加权联合线性最小二乘定位算法分别可以得到45个方程，加权线性最小 二乘定位算法可以得至1J990个方程。而理论上对于二维平面，加权非线性最小二乘定位 算法和加权联合线性最小二乘定位算法最少只需要3个方程便可完成定位，加权线性最 小二乘定位算法最少只需要2个方程便可完成定位，如果每次定位都采用如此多的方程 不仅增加了定位运行时间，而且大量消耗了节点的能量。另一方面，如果利用过少的方 程参与定位，由于误差的影响精度达不到要求，同时也失去了无线传感器网络多节点数 据融合的意义。所以需要寻找一种折中的办法，在不影n向定位精度的前提下又能尽量减 少算法中的方程个数。
可以知道，之所以引入加权系数能提高定位的精度就是因为通过给不同的方程以不 同的加权系数后，每个方程的可信度产生了区别，加权系数大的方程可信度高，加权系 数小的方程可信度低，加权系数为0的方程可以认为不可信。实际上，定位的结果主要 取决于加权系数大的方程[43,46】，在定位中若增加加权系数大的方程，减少加权系数小的 方程，抛弃加权系数为0的方程就可以达到提高定位精度同时又减少方程个数的目的。 在实际定位中，假设参与定位的节点个数已定，先通过加权系数的计算公式得到所 有加权系数，然后对这些加权系数按从大到小降序排列，对其每隔一定的数量累积进行 求平均值操作，当加权系数的数量累计达到某个值时加权系数平均值降低到所设置的阈 值，此时的加权系数累计数量即为定位需要的方程个数，因为加权系数采用了降序排列， 所以方程都是按照可信度从大到小排列的，这样就成功地从众多方程中筛选出加权系数 大、可信度高的方程，抛弃了加权系数小、可信度低的方程。
以加权非线性最小二乘定位算法为例，假设参与定位的节点数为n=lO，这样可以得
到45个加权系数，对应有45个方程，将这些加权系数按从大到小降序排列，每隔5个加 权系数累积求平均值，即分别求前5个、前lO个，?，前40个，前45个加权系数的平均 值，假设设定加权系数平均值阈值为4，当在求加权系数累积平均值的过程中若发现其 值小于4I)lJJ停止求平均并将此时的累计值作为参与定位的方程个数，例如当求到前15个 加权系数的平均值小于4时则停止求平均，并将前15个加权系数对应的15个方程作为参 与定位的方程，其他加权定位算法类似。
3．3对加权定位算法参与定位节点个数的改进
3．2节在参与定位的节点个数己定的前提下对加权定位算法方程个数进行了改进，提 出了根据加权系数的大小选取适当数量方程的改进方法，但每次定位仍然需要先将加权 32硕士论文 基于声音能量强度的无线传感器网络目标定位研究
系数算出然后再进行筛选，而加权系数个数的多少是由参与定位的节点个数决定的，如 果参与定位的节点个数很多，需要计算的加权系数就很多，传输多个节点的检测值使节 点的能耗增加寿命变短，计算多个加权系数使得算法复杂度和定位运行时间增加。故从