v绳B
vB＝①
cosβ
答图4－1－3
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如答图4－1－3乙所示，则有v绳A＝v1cosα②
由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A③ 根据①②③式解得vB＝v1cosα/cosβ.选项D正确． [答案] D
[误区警示] 此类问题的关键是找出哪是合运动和运动效果的分析，一般以地面为参考系，物体的速度为合速度，向着沿绳方向和垂直绳的方向分解即可．
第二讲 平抛运动
知识梳理
一、1.水平 重力 2．g 匀变速
二、1.匀速直线 v0 v0t
1gtgt222．自由落体 gt2 (1)v2＋gt (2) 0
2v02v0
三、1.斜向上或斜向下 重力 2．匀变速 抛物线
3．匀速直线 竖直上抛或竖直下抛 考点自测
1．解析 (1)若同时落地，不能说明水平分运动是匀速运动，只能说明竖直方向为自由落体运动．
(2)竖直管A上端应低于水面．
答案 (1)若同时落地，则说明水平分运动是匀速运动，竖直分运动是自由落体运动 (2)竖直管A上端要高于水面
2．解析 因为平抛运动的运动形式为匀变速曲线运动，其加速度是恒定不变的，即速度的变化率也是恒定不变的，再根据平抛运动的特点：水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，合外力为重力，合加速度为重力加速度，故每秒速度的增量大小恒定不变，方向沿竖直方向，A选项正确．
答案 A
3．解析 垒球落地时瞬时速度的大小是v＝v20＋2gh，其速度方向与水平方向的夹角
2gh
满足tanα＝，由此可知，A、B两项错误；垒球在空中运动的水平位移x＝v0t＝v02h/g，
v0
2h
故C项错误；垒球在空中运动的时间t＝，故D项正确．
g
答案 D
4．解析 因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律，
1212gtgt2122t11
知tanθ＝＝，所以＝. v0t12v0t2t22答案 B 典例剖析
【变式训练1】 解析 (1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球
2
速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以，vy＝v0tan53°，vy＝2gh.
代入数据，得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s. (2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s， x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m.
答图4－2－1
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 mgsin53°a＝＝8 m/s2，
m
2
初速度 v＝v20＋vy＝5 m/s. H1
＝vt2＋at2， sin53°22
代入数据，整理得4t22＋5t2－26＝0，
13
解得t2＝2 s或t2＝－ s(不合题意舍去)，
4
所以t＝t1＋t2＝2.4 s.
答案 (1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s 【变式训练2】 解析
答图4－2－2
如答图4－2－2所示，物体在前5 s内由坐标原点起向东沿x轴正方向做初速度为零的匀加速运动，其加速度为
F14
ax＝＝ m/s2＝2 m/s2，
m2
方向沿x轴正方向．
5 s末速度vx＝axt1＝2×5 m/s＝10 m/s. 从第5 s末开始，物体参与两个分运动：一是沿x轴正方向做速度为10 m/s的匀速运动；
F22
二是沿y轴正方向(正北方向)做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为ay＝＝ m/s2
m2
2
＝1 m/s，
经10 s沿y轴正方向的速度 vy＝ayt2＝1×10 m/s＝10 m/s， 15 s末的速度为
222v1＝v2x＋vy＝10＋10 m/s ＝102 m/s，
10
tanα＝＝1，
10所以α＝45°，
即方向为东偏北45°角．
答案 102 m/s 方向为东偏北45°
【变式训练3】 解析 (1)如答图4－2－3所示，设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动
答图4－2－3
1h1＝gt2①
21x1＝v1t1②
2h1③ g
(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动
1h2＝gt2④
22x2＝v2t2⑤ 且h2＝h⑥ 2x2＝L⑦
Lg得v2＝ ⑧
22h
(3)如答图4－2－4所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动得 解得x1＝v1
答图4－2－4
1h3＝gt2⑨
23x3＝v3t3⑩ 且3x3＝2L?
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有
1
h3－h＝gt2?
2
s＝v3t?
由几何关系，知x3＋s＝L?
4
联立⑨～?式，解得h3＝h.
3
2h1Lg4
答案 (1)v1 (2) (3)h g22h3
误区反思 感悟提高
vy【例1】 [解析] 物体平抛运动的时间t＝，由速度的合成与分解可知vy＝v2－v20，g故只有D正确．
[答案] D
[误区警示] 速度是矢量，在平抛运动中，v－v0不是速度变化．
【例2】 [解析] 物体落在斜面上，则位移与水平方向的夹角就等于斜面的倾角θ，
y122v0tanθxv0t2v20tanθ
因此有tanθ＝，其中y＝gt，x＝v0t，则t＝，C项正确；L＝＝＝，x2gcosθcosθgcosθ
B项正确．
[答案] BC
[误区警示] 审题时应注意题中的已知条件，特别是善于挖掘隐含的已知条件，如题中运动员落在斜坡上，则是合位移方向不变．
第三讲 圆周运动的规律和应用
知识梳理 一、快慢 弧长 通过这段弧长所用时间 切线 圆心 圆心角 所用时间 方向 圆心
v24π2r二、2.m m2 rT
3．圆心
4．圆心 半径 三、1.弧长
2．(3)向心 (4)垂直 圆心 四、1.远离 考点自测 1．答案 BC
2．解析 从静摩擦力总是阻碍物体间的相对运动的趋势来分析：由于圆盘转动时，以转动的圆盘为参考系，物体的运动趋势是沿半径向外背离圆心的，所以盘面对木块的静摩擦力方向沿半径指向圆心．从做匀速圆周运动的物体必须有力提供向心力的角度来分析，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，它必须受到沿半径指向圆心的合力，只有来自盘面的静摩擦力提供指向圆心的向心力，因而盘面对木块的静摩擦力方向必沿半径指向圆心，所以，正确选项为B.
答案 B
mv2
3．解析 球通过最高点的条件是v≥0，当球通过最高点，拉力为零时，有mg＝ ?
R
v＝gR. mv2
当0＜v＜gR时，F为支撑力，mg－F＝. Rmv2
当v＞gR时，F为拉力，F＋mg＝，故选项D正确．
R
答案 D
L
4．解析 细绳碰到钉子的瞬间，线速度不变，B项错误；圆周运动的半径由L变为，
3
2v
由a＝，知a增大到原来的3倍，A项正确；根据v＝rω，知角速度ω增大到原来的3倍，
r
v2v2
C项错误；细绳碰到钉子前瞬间FT－mg＝m，碰后瞬间FT′－mg＝m，由此可知D项
LL
3
错误．
答案 A
5．解析 离心力是一种效果力，实际并不存在，A项错误；做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，由于惯性，它将沿切线方向飞出，做匀速直线运动，B、D两项错误，C项正确．
答案 C 典例剖析
【变式训练1】 解析 车行驶速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4 m/s，后轮的角速度
4
ω＝v/R＝－ rad/s＝12 rad/s，
330×103飞轮与后轮为同轴装臵，故飞轮的角速度 ω1＝ω＝12 rad/s，
飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1、r2分别为飞轮和链轮的半径，因此周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2，
ω1N1
又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度ω3＝ω2，ω3＝，要使ω3最小，则N1＝15，
N2
12×15
N2＝48，故ω3＝ rad/s＝3.8 rad/s.
48
答案 B
【变式训练2】 解析 由题图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线
v
vωARARB1
速度相同，由ω＝，得＝＝＝.由于小木块恰能在A边缘静止，则由最大静摩擦力
RωBvRA2
RB
提供的向心力，得μmg＝mω2ARA.
设放在B轮上能使木块相对静止的距B轮转轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦
2
力提供，故μmg＝mωBr，
2
因A、B材料相同，故木块与A、B的动摩擦因数相同，故mω2ARA＝mωBr，
ωA?2?1?2RA＝RA＝RB. r＝?R＝A?ωB??2?42答案 C
【变式训练3】 解析 (1)在光滑斜槽上由牛顿第二定律得： mgsin37°＝ma. 故a＝gsin37°＝6 m/s2.
(2)小球由A至B，机械能守恒，则
12
mg(Lsin37°＋hDB)＝mvB.
2
hDB＝R(1－cos37°)．
小球在B点时，由牛顿第二定律得：
v2BFNB－mg＝m. R
联立上述各式得：
2g[Lsin37°＋R?1－cos37°?]
FNB＝mg＋m＝17 N.
R
由牛顿第三定律得： 小球过B点时对轨道的压力大小为17 N. (3)小球要过最高点，需要的最小速度为v0.
2v0则mg＝m.
R
即v0＝gR＝1 m/s.
又小球从A到C机械能守恒，所以
1
mg[Lsin37°－R(1＋cos37°)]＝mv2.
2C
解之vC＝12 m/s＞1 m/s. 故小球能过最高点C. 答案 (1)6 m/s2 (2)17 N
(3)能通过最高点C 误区反思 感悟提高
【例1】 [解析] 在h一定的条件下，释放后小球的机械能守恒，其运动情况与小球
1
的质量无关，A项错误；小球能通过a点的最小速度v＝gR，从a点平抛，R＝gt2，s＝
2
vt＝2R，所以，无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过a点后落回轨道内，C项正确；如果h足够大，小球可能会飞出de面之外，D项也正确，本题正确答案为C、D两项．
[答案] CD
[误区警示] 小球通过a点的最小速度为gR，即平抛运动的最小初速度为gR.善于挖掘题目中的已知条件才能正确解题．
【例2】 [解析] A球做圆周运动的向心力由OA段和AB段轻杆的拉力的合力提供，
2
FOA－FAB＝mAωrA.