《大学物理习题集》（下册） 习题参考解答 共75页
单元三 波的干涉 驻波 多普勒效应
一、 选择、填空题
1. 如图所示，两列波长为?的相干波在P点相遇， S1点的初位相是?1，S1到P点的距离是r1， S2点的初位相是?2，S2到P点的
距离是r2，以k代表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为：
【 D 】
(A)r2?r1?k?;(B)?2??1?2k?;(C)?2??1?(D)?2??1?2?(r2?r1)选择填空题(1)?2?(r1?r2)?2k?; ?2k?选择填空题?1?2. 如图所示， S1，S2为两相干波源，其振幅皆为0.5m，频率皆为100Hz，但当S1为波峰时， S2点适为波谷，设在媒质中的波速为10ms(A)200?,1m;(B)201?,0.5m;(C)201?,0;(D)200?,0;(2)，则两波抵达P点的
相位差和P点的合振幅为： 【 C 】
(E)201?,1m
3. 两相干波源S1和S2的振动方程是y1?Acos(?t??2)和y2?Acos?t， S1距P点6个波长，
S2距P点为13.4个波长，两波在P点的相位差的绝对值是15.3?。
4. 在弦线上有一简谐波，其表达式为y1?2.0?10cos[100?(t?2x20)?4?3](SI)为了在此弦线上形成
驻波，并在x=0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为： 【 D 】
(A)y2?2.0?10(B)y2?2.0?10(C)y2?2.0?10(D)y2?2.0?102cos[100?(t?cos[100?(t?cos[100?(t?cos[100?(t?x20x20x20x20)?)?)?)??343](SI)2
?](SI)](SI)
2?3432?](SI)5. 如图所示，为一向右传播的简谐波在t时刻的波形图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反射波在t时刻的波形图为 【 B 】 6. 如果在固定端x=0处反射的反射波方程式是
y2?Acos2??(t?x?)，设反射波无能量损失，那么入射波
的方程式y1?Acos[2?(?t?y?2Acos(2?x?x?)??]，形成驻波的表达式
?2?)?cos(2??t??2)。
选择填空题(5) Created by XCH Page 11 6/28/2013
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7. 在绳上传播的入射波波动方程y1?Acos(?t?2?x?)，入射波在
x=0处绳端反射，反射端为自
2?x)，形成驻波波动方程
由端，设反射波不衰减，则反射波波动方程y2?Acos(?t?y?2Acos2?x?cos?t。
??8. 弦线上的驻波方程为y?Acos(x?(2k?1)2?x???2)cosωt，则振动势能总是为零的点的位置是
?4；振动动能总是为零的位置是x?k?2。其中
(A)k?0,?1,?2,?3?
9. 已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处，其波形如图(A)所示，一行波在t时刻的波形如图(B)所示，试分别在图(A)、图(B)上注明所示的a、b、c、d四点此时的运动速度的方向(设为横波)。
在图A中：va?vb?vc?vd?0
二、计算题
1. 两列相干平面简谐波沿X轴传播。波源S1与S2相距
选择填空题(9)(B)d=30 m，S1为坐标原点。已知x1=9 m和x2=12 m处的
两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源的最小位相差。
? 选取X轴正方向向右，S1向右传播，S2向左传播。
两列波的波动方程：y1?A1cos[(?t?y2?A2cos[(?t?d?x2?)??20]
x?2?)??10]
计算题(1)?x1?9m和x2?12m的两点为干涉相消。
满足：?2??1?[(?t?(?20??10)?2?((?20??10)?2?(x1??d?x?d?x12?)??20]?[(?t?)?(2k?1)?
x?2?)??10]?(2k?1)?
?x2?d?x2???)?[2(k?1)?1]?
x1?d?x1)?(2k?1)?
两式相减：4?(x2?x1)?2?，??6m。由(?20??10)?2?(??1，2，3?，两波源的最小位相差：?20??10?? 得到(?20??10)?(2k?1)??4?, k?0，2. (1)一列波长为?的平面简谐波沿X轴正方向传播。已知在x??/2处振动方程y=Acos?t，试写出该平面简谐波的波动方程；
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(2) 如果在上述波的波线上x?L(L??/2)处放一和波线相垂直的波密介质反射面，如图，假
2?x?4?L)
?t?设反射波的振幅为A'，试证明反射波的方程为 y'?A'cos(??? 已知x??/2处振动方程：y?原点处O点的振动方程：
yO?A cos(?t?2??A cos?t
?2?)，yO?A cos(?t??)
2?x??) 2?L平面简谐波的波动方程：y?A cos(?t??反射面处入射波的振动方程： y?A cos(?t?????)
计算题(2)反射面处反射波的振动方程： y'?A' cos(?t?2?L)（波疏到波密介质，反射波发生?相变） )（反射波沿X轴负方向传播，O点的
反射波在原点O的振动方程：y'O?A' cos(?t?2?振动位相滞后）
反射波的方程： y'O?A' cos(?t?2?x2?L???4?L?)
3. 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程为：
y1?0.06 cos?(x?4t)y2?0.06 cos?(x?4t)
(1) 证明细绳上作驻波振动，并求波节和波腹的位置;
(2) 波腹处的振幅有多大？在x=1.2m处振幅有多大？
?
y1?0.06 cos(?x?4t?)，y1?0.06 cos(4?t??x)向右传播的行波。 y2?0.06 cos(?x?4t?)，y2?0.06 cos(4t???x)向左传播的行波。
两列波的频率相等、且沿相反方向传播，因此细绳作驻波振动: y?2Acos?xcos4?t
A合?2Acos?x
波节满足：?x?(2k?1)?2，x?k?12，k?0,?1,?2,?3?
波幅满足：?x?k?，x?k，k?0,?1,?2,?3?
波幅处的振幅：A合?2Acos?x，将x?k和A?0.06m代入得到：A?0.12m 在x?1.2m处，振幅：A?2Acos?x，A?0.12cos1.2?，A?0.097m
4. 设入射波的表达式为y1?A cos2?(tT?x)，在x=0发生反射，反射点为一固定端，求：
?(1) 反射波的表达式；(2) 驻波的表达式；(3)波腹、波节的位置。
? 入射波：y1?A cos2?(tT?x?)，反射点x=0为固定点，说明反射波存在半波损失。
tT?x)??]
反射波的波动方程：y2?A cos[2?(? Created by XCH Page 13 6/28/2013
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根据波的叠加原理， 驻波方程：y?2Acos（2?x?＋?2??12x）cos(2?tT??) )
将?1?0和?2??代入得到：驻波方程：y?2Asin2?驻波的振幅：A合?2Asin2?波幅的位置：2?波节的位置：2?x?(2k?1)x?cos(2??t??2?
，x?(2k?1)?4?2k?x3? ，k?0,1,2，??k?，x?x2?，k?0,1,2，3?（因为波只在x>0的空间，k取正整数）
5. 一驻波的表达式y?2Acos2??cos?t，求：
(1)
x??2处质点的振动表达式；(2)该质点的振动速度。
?2Acos2?xcos?t，在x?? 驻波方程：y?2?处的质点，振幅：2Acos2?x??2A
振动表达式：y?2Acos(?t??)
???2A?sin(?t??)，v?2A?sin?t 该质点的振动速度：v?y6. 一固定波源在海水中发射频率为?的超声波，射在一艘运动的潜艇上反射回来，反射波与入射波的频率差为??，潜艇的运动速度V远小于海水中的声速u，试证明潜艇运动的速度为：V?u2???
? 根据多普勒效应，舰艇收到的信号频率：?'?(1?潜艇反射回来的信号频率：?''?(?''?(V?u2?uu?V)(1?Vu)?，V?(uu?Vuvu)?（波源静止，观察者背离波源运动）
)?'（观察者静止，波源背离观察者运动）
)(???'')，当V??u，???''?2?,??????''，
???''??
7. 一个观测者在铁路边，看到一列火车从远处开来，他测得远处传来的火车汽笛声的频率为650 Hz，当列车从身旁驶过而远离他时，他测得汽笛声频率降低为540 Hz，求火车行驶的速度。已知空气中的声速为330 m/s。
uu?vs? 根据多普勒效应, 列车接近观察者时，测得汽笛的频率：?'?(着观察者运动）
列车离开观察者时，测得汽笛的频率：?''?(由上面两式得到：
?'?''?u?vsu?vsuu?vs)?0（观察者静止，波源朝
)?0（观察者静止，波源背离观察者运动）
，列车行驶的速度：vs??'??''?'??''u, vs?30.5m/s
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单元四 (一) 振动和波习题课
一、填空、选择题
1. 如图所示一平面简谐波在t=0时的波形图，则O点的振动方程y0?0.04cos(0.4?t?波的波动方程y?0.04cos(0.4?t?5?x??2)，该
?2)
? 波的标准方程为y?Acos[?(t?xu)??]，将图中所示的数据代入即可得O点和波动方程。
选择填空题(1)选择填空题(2)
2. 如图一平面简谐波在t=0时刻的波形图，试在图(b)、(c)画出P处质点和Q处质点的振动曲线，并写出相应的振动方程。其中波速u?20m?s.x,y以米计，t以秒计。
?1? 平面简谐波的方程为yP
?Acos[?(t?xu)??]， y?0.2cos[2?(0.5t?x40)??2]
点振动方程：yP?0.2cos[2?(0.5t?20403040)??2]?0.2cos[?t??2]
Q点振动方程：yQ?0.2cos[2?(0.5t?)??2]?0.2cos[?t??]
选择填空题(2)选择填空题(2)3. 如图为一平面简谐波在t时刻的波形曲线，其中质量元A、B的yA?yB若此时A点动能增大。
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