备战2012年中考数学
4.（2011.重庆）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)在平面直角
2坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A、a>0 B b<0 C c<0 D a+b+c>0
6.（2011.山东荷泽）如图为抛物线y?ax?bx?c的图像,A B C 为抛物线与坐标轴
2的交点，且OA=OC=1，
则下列关系中正确的是
A. a?b??1 B. a?b??1 ( 第 6 题图 ) C. b<2a D. ac<0
13.（2011.义乌）如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x+3x图象的对称轴
2
交于点B.
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
2
（2）已知点P是二次函数y=－x+3x图象在y轴右侧部分上的一 ．．
个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于 C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点 P的坐标为 ▲ .
D O
C
B
214.（2011贵阳）如图所示，二次函数y??x?2x?m的图
象与x轴的一个交点
为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. （1）求m的值；（3分） （2）求点B的坐标；（3分）
（3）该二次函数图象上有一点D(x,y)（其中x?0，y?0）， 使S?ABD?S?ABC，求点D坐标.（4分）
15.（2011.成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一
边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD。已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，清说明理由．
18.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），
抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分） （2）设点P为抛物线（x?5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的
长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2分） ．．．．（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分） 解：
第18题图
、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?5)，············1分
4
， 5
44224416x?4?(x?3)2? ∴y?(x?1)(x?5)?x?，···········2
55555 把点A（0，4）代入上式得：a?
分
∴抛物线的对称轴是：x?3．······································3分
（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5
分
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，
AM?OA2?OM2?42?32?5，因为抛物线对称
轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，4）．···································5分
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解
答过程分析合理可酌情给1分）
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N(t,4224t?t?4)55（0?t?5)，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：
44y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，则
554G(t,?t?4)，
544224t?4）此时：NG=?t?4-（t?，
5554220t． ·=?t?·····································７
55分
∴
S?ACN?11420525NG?OC?(?t2?t)?5??2t2?10t??2(t?)2? 225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，
22542245t?4??3，∴N（， -3）由t?，得：y?t?． ········ 8
5522分
19.（2011.金华）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成
矩形OABC, 相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上, 设抛物线
y?ax2?bx?c（a＜0）过矩形顶点B、C.
（1）当n=1时，如果a=-1，试求b的值；
（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O.①试求当n=3时a的值；
y ②直接写出a关于n的关系式．
y y
M N
C C B B C F E ? B
O A x A x x O O
A y 图1 图2 图3 B C （1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=
∴?1， 2O y M C A b1?,得b= 1； ??2分 2a22（2）设所求抛物线解析式为y?ax?bx?1，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（
x N B 1，2） 24?a??,?1?4a?2b?1，???3∴? 解得? 112?a?b?1.?b?8.??42?3?428∴所求抛物线解析式为y??x?x?1；??4分
33（3）①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线解析式为y?ax?bx，
2F E O A x 过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴OD?OC?1, CDBC3设OD=t，则CD=3t， ∵OD?CD?OC，
222y 110∴(3t)2?t2?12， ∴t?, ?101031010）, 又 B（10，0）∴C（，， 1010
∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得
C B O D A x ?0?10a?10b，10? 解得:a=； ??2分 ??3110310?a?b.?1010?10n2?1②a??. ??2分
n１．如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与
点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在
关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF
与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.
EC FM A1 A A DP 图
C 图
B B1
B
A1 FA1 B
B1
E M C C DP B1
A DP 图
C
２.（本题１０分）如图４，在△ABC中，∠ACB=90?，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H.
（1）试求sin∠MCH的值； （2）求证：∠ABM=∠CAH；