图2.8 VBE与VPTAT补偿原理
2.2.1与绝对温度成正比的电压
早在1964年人们就认识到，如果两个双极晶体管在不相等的电流密度下工作，那么它们的基极-发射极电压的差值就与绝对温度成正比。
VDDnI0Vo1Vo2R2Q1VDDI0Q200
图2.9 与绝对温度成正比的电压的产生
如图2.9所示，如果两个同样的晶体管(IS1=IS2)偏置的集电极电流分别为nI0和I0，忽略它们的基极电流，则有?VBE?VBE1?VBE2?VTln的差值与绝对温度成正比。
nI0I?VTln0?VTlnn 因IS1IS2VBE2.2.2负温度系数电压VBE
??CTEAT??T?e0????Vln有公式知VBE?Vg?VTln???T?? 。其中，Vg是硅的带隙势??IC0?bNDb??T0?垒，VT?kT/q,T是绝对温度，T0是参考温度，单位为K，CTE是与温度不相关的常数，
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Ae是发射极面积，?b是基区宽度，NDb是基区掺杂浓度，?pb是基区少数载流子平均迁
移率，γ＝4-m，α是温度指数。
??kT0?CTEATe0ln?当T=T0时，VBE0?Vg0?，其中Vg0是硅在温度T0时的带隙势垒。 q?IC0?bNDb??为了简化分析，假设Vg不随温度变化，且Vg?Vg0，将VBE0的表达式代入式
??CTEAT??T?e0VEB?Vg?VTln?????Vln????T?就可以得到： TI?N?C0bDb??0?VBE0?Vg0?T???????VTln?? VBE?Vg0?TT0?T0?等式两边对温度求导：
?VBEVBE0?Vg0k?T?k???????ln???????? (2.9) ?TT0q?T0?q
V?V?VBEk?BE0g0?????? (2.10)
?TT?T0T0q可见，VBE的温度系数本身与温度有关，如果正温度系数的量表现出一个固定的温度系数，那么在恒定电压基准的产生电路中就会产生误差。因此，只有在一阶近似的情况下，基准的温度系数才可以认为是很小的。
2.3 带隙基准源的几种结构
1)widlar带隙基准源
第一个带隙基准源由Robert widlar 于1971年提出，其结构如图2.10所示： 由图2.10可列方程如下：
I2?VBE1?VBE2VtII?ln(1S2) (2.11) R3R3I2IS1假设VBE1?VBE2，则I1R1?I2R2由式(2.11)可化简为
I2?VtRIln(2S2) (2.12) R3R1IS1输出基准电压VREF的表达式如下：
VREF?VBE3?I2R2?VBE3?
?RI?R2Vtln?2S2??VBE3?KVtR3?R1IS1?8
(2.13)
这就是 Widlar带隙基准电压的表达式。式中第一项具有负的温度系数，第二项具有正的温度系数，合理地设置R1，R2，R3，IS1和IS2的值，就可使正、负温度系数相互抵消，从而实现零温度漂移。
这种结构的缺点是电源电压比较高，而且难以保证电流比不随温度变化[4]。
VCCIQ4VREFI1R1I2R2Q3Q1Q2R30
图2.10经典Widlar带隙基准源
2）Brokaw带隙基准源
电路结构如图2.11所示，该电路结构的负反馈环使用了运放以减小两个支路电流比值的温漂[4]。
图2.11中,Q2和Q1的发射极面积之比为N，输出电压可表示为：
VREF?VBE1?(IC1?IC2)R2 (2.14)
假定集电极电阻R3和R4完全相同，由于运算放大器输入端“虚短”，Q1和Q2的集电极电流就相等。
电阻R2上的压降等于Q1和Q2的发射极电压差?VBE，因此输出电压又可以表示为：
VREF?VBE1?R2VlnN?VBE1?KVt (2.15) R1t从式(2.15)可以看出，通过选择合适的N值及R2和R1的比值，也可实现正负温度系数相互抵消。与Widlar带隙基准源的表达式（2.13）相比，在对数项中的比不存在，需要调整的参量变少，同时与电源电压无关，所以基准源的精度就提高了。
Brokaw电路结构的缺点是电源抑制比不高且功耗较大。
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VCCR3R4+OUT-VREFQ1Q2R1R20
图2.11 Brokaw带隙基准源
3)使用横向BJT的CMOS带隙基准源
如图2.12所示
?I2??Vt??IS2?Vt?AE2??VBE1?VBE2Vt??I1?I2???ln???ln?????ln???ln??? (2.16)
R2R2??IS1?IRIRA2?2?E1???S2???S1?由于电流镜的镜象而使I1?I2，则有
?R?A??VREF?VBE1?I1R1?VBE1??2ln?E2??Vt?VBE1?KVt (2.17)
?R1?AE1??此电路结构的缺点是VREF受电源电压的影响比较大。
VCCVREF+R2Q1Q2R1--M1M20
图2.12使用横向BJT的CMOS带隙基准源
从以上的讨论中，我们能看出VBE是带隙基准源一个很重要的参数，它的温度特
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性在带隙基准源中扮演着很重要的角色，因此下一节将要详细分析VBE的温度特性和精 密补偿VBE的方法[5]。
2.4 VBE的温度特性
以NPN双极型器件为例，其基-射结电压可以表示为: VBE?VTln(IC) (2.18) IS式中VT?KT/q，K是波尔兹曼常数，q是电子电荷，IC为集电极电流，IS为饱和 电流，它同器件的结构有关，可表示为[6]:
qAni2Dn (2.19) IS?QB式中A为基一射结面积，ni为硅的本征载流子浓度，Dn为基区中电子扩散常数的平均有效值，QB为单位面积基区总掺杂浓度。
利用Einstein关系式un?qD及un和ni与温度的关系，即: KTnun?CT?n (2.20) Vg0n?DTexp(?) (2.21)
VT2i3式中un为基区中平均电子迁移率，C, D, n是与温度无关的常量，Vg0为外推到绝对温度零度时硅的能隙电压，则IS可表示为:
IS?BT4?nVg0exp(?) (2.22)
VT式中B是与温度无关的量。将VBE对T取导数，由于IC很可能是温度的函数，为了简化分析，暂时假设IC保持不变，则:
?VBEVTICVT?ISVBE?(4?n)VT?Vg0?ln()?? (2.23) ?TTISIS?TT上式给出了VBE的温度系数，从式中可以看出，它与VBE本身的大小以及温度都有关系。如果再考虑IC的温度变化，VBE温度系数的表达式将更为复杂，所以考虑通过别的方法来研究VBE的确切表达式。
为了精确分析VBE，必须找出以前使用的VBE表达式中不精确的原因，加以改进。首先，ni2的表示式不精确，它的精确表达式应该:
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