ni2?ET3exp(?VG(T)) (2.24) VT式中VG(T)为在温度T时硅的能隙电压，E是与温度无关的量。
图2.13 带隙电压随绝对温度的变化及其一阶近似
如图2.13示，在常温下，可以把VG(T)简化为随温度变化的线性函数，这是因为在这个工作范围内比较符合VG(T)的实际变化曲线，所以: 式中?r?(dVG)T?Tr，将上式代入ni2的精确表达式中，则 dTVG(T)?VGor??rT (2.25)
ni2?Eexp(?q?r/k)T3exp(?VGor) (2.26) VT与ni2常用表达式比较可知，常数D?Eexp(?q?r/k), VG(T)就是VGor。
但是，VGor,并不是唯一的，它会随着Tr变化，而且VGor在低温下随温度变化的非线性越来越严重，这时用线性函数描述它已经很不精确。同时注意到，?r也会随着Tr变化，只是在常温下变化很小，才将其近似认为是一个常数，但在低温下变化很大，就不能作为常数了。这些就是由于ni2的不精确而导致VBE不精确的原因。
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图2.14 VBE绝对温度的变化
将式(2.19)至(2.26)代入(2.18)式，得到VBE的精确表达式
VBE?VG(T)?TkTTkTI(T) (2.27) VG(Tr)?VBE(Tr)?(4?n)ln?lnCTrqTrqIC(Tr)图2.14表示了VBE随绝对温度的变化。
2.5 带隙基准源的曲率校正方法
带隙基准源输出电压的校正，一般是通过一个矫正电压消除或减少VBE温度系数的影响来实现的，即:
VREF?VBE(T)?VC(T) （2.28）
矫正的方法包括线性补偿和高阶补偿，线性补偿可以满足一般精度要求，高阶补偿主要用于高精度的要求[7]。
2.5.1线性补偿
如果VC(T)是关于温度的线性函数，能够抵消的线性项，就是线性补偿，即 VC(T)???T (2.29) 则
VREF?VBE?VC(T) (2.30)
2.5.2高阶补偿
线性补偿后，基准源输出电压中的高阶项始终存在，仍然影响输出电压的精度。如果能够将其中的高阶项消除，则基准源输出电压的温度稳定性进一步提高。目前，人们已经提出了很多行之有效的非线性的补偿方法，下面介绍常见的几种[8]。
非线性曲率补偿主要有VBE环路曲率补偿，β非线性曲率补偿，利用不同材料电阻的相异温度特性进行曲率校正。
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1) VBE环路曲率补偿的基准电压源
如图2.15所示, INL?VBE1?VBE2Vt?IC1A2?Vt?2IPTAT??ln??ln? (2.31) ??R3R3?A1IC2?R3?INL?IConstant?其中，IVVConstant?INL?IPTAT?IVBEBE?INL?tR?， XR2IC1，IC2分别是Qn1和Qn2的集电极电流，RX是定义IPTAT的电阻，则：
V??VBE?VtRln??2IPTAT???I?REF?PTAT?R1 ?R23?INL?IConstant??此电路结构缺点是过于复杂，且CMOS标准工艺无法制作出高性能的NPN晶体管。
图2.15 VBE环路曲率补偿的电路图
2)β非线性曲率补偿基准电压源
如图2.16所示，
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(2.32)
VCCI=ATI=BTVREF+BT/(1+B)R1Q1--0
图2.16 β非线性曲率补偿的基准电压源
VREF?VBE?(AT?BTBT)R?VBE?(AT?)R (2.33) 1????1T其中A和B是常数。β与温度无关，可表示为?(T)?e则
VREF?VBE(T)?(AT??1T也可以表示为?(T)?Ce?1T，
BTe) (2.34) c本基准电路的缺点是电源电压不能太低，而且在CMOS标准工艺中制造的PNP管的β的值很难控制。
3)利用不同材料电阻的相异温度特性进行曲率校正
由前面的分析可知道，VBE中的有关温度的非线性项为TlnT，因此VBE可以泰勒展开为如下形式:
23?????AnTn (2.35) VBE(T)?A0?AT1?A2T?AT3利用两个温度系数相异电阻的比值，可以得到与T有关的高阶项，这样就可以用来消除VBE中的高阶项，达到曲率补偿的目的。电路见图2.17所示
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VCCM1OUTM2VREFOPAMP+-R4R3R11kQ0R2Q10
图2.17利用不同材料电阻的温度系数进行曲率校正的带隙基准电压源
图2.17中，R1、R4和R3由P型注入电阻制成其具有正温度系数；R3由高阻多晶硅制成，其具有负温度系数。显然，可以得到:
VREF?VBE2?R2RVTlnN?2VTlnN (2.36) R1R1式(2.36)中，由于R2与R1由同一材料制成，具有相同的温度系数，因此其比值与温度无关;R3与R1采用了不同的材料，因此其比值会随着温度的变化而变化。由于，在0℃-100℃范围内，可以认为KHpolyR(T?T0)??1，因此可将其比值泰勒展开为下式:
R3(T)R3(T0)?[1?KPdiffR(T?T0)] ?R1(T)R1(T0)?[1?KHpolyR(T?T0)]?R3(T0)[1?KPdiffR(T?T0)]?[1?KHpolyR(T?T0)?K2HpolyR(T?T0)2] R1(T0)R3(T0)[1?(KHpolyR?KPdiffR)(T?T0)?(K2HpolyR?KHpolyRKPdiffR)(T?T0)2 R1(T0)? ?KHpolyRKPdiffR(T?T0)3 (2.37) 将式(2.37)带入式(2.36)，可得
VREF?VBE2?[R2R3(T0)?]VlnN? R1R1(T0)T
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