正弦定理、余弦定理及其应用
考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
正、余弦定理的五大命题热点
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ?ABC中，A????3，BC＝3，则?ABC的周长为（ ） ???????3 B．43sin?B???3 3?6??A．43sin?B?C．6sin?B???????? D．?36sinB?????3 3?6??分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果． 解：由正弦定理得：
3sin?3?bsinB2?3?csinC?b?csinB?sinC?b?csinB?sin(2?3?B)，
得b＋c＝23[sinB＋sin(－B)]＝6sin(B??6)．故三角形的周长为：3＋b＋c＝
???6sin?B???3，故选(D)．
6??评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝
故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．
例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?463?6，周长应为33＋3，
,cosB?66，AC边上的中
线BD=5，求sinA的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE?22212AB?263，设BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD8326366?BE?ED?2BE?EDcosBED，
5?x?2?2??x，解得x?1，x??73（舍去） 书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库
故BC=2，从而AC2?AB2?BC2?2AB?BCcosB?283，即AC?2213又sinB?306，
221故
2sinA?3306，sinA?7014 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例3 在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)． 解法2：由题意，得cosB＝
sinC2sinA2
?c2a2
，再由余弦定理，得cosB＝
a?c?b2ac222．
∴
a?c?b2ac222＝
c2a，即a＝b，得a＝b，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一
化为边，再判断(如解法2)．
三、 解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
?例4 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，
则?ABC的面积S＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝
AB?AC?BC2AB?AC12222212AB?ACsinA即可解决．
12解：由余弦定理，得cosA＝?25?AC?4910?AC12??，解得AC＝3．
∴ S＝
12AB?ACsinA＝
1534．∴ AB?AC?sinA＝AC?h，得h＝AB? sinA＝
322，
故选(A)．
四、求值问题
例5 在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c，
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设a、b、c满足条件b2?c2?bc?a2和
cb?12?3，求?A和tanB的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理cosA?b?c?a2bc222?12，因此，?A?60?
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
12?3?cb?sinCsinB?sin(120??B)sinB
12?sin120?cosB?cos120?sinBsinB?32cotB?12,解得cotB?2,从而tanB?.
五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题
例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。
解析：由正弦定理得
ACsin?CBA?ABsin?ACB12C A
图1
D
B
，∴AC=AB=120m，
12AB?CD，解得CD=60m。
又∵S?ABC?AB?ACsin?CAB?点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。
西 A 南 15° B 30° 图2
东 C
北 这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知
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与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
（三.）追击问题
例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°
北 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理
AC?AB?BC?2AB?BCcos?，
222A 45° B 15°
?28t?22?81??20t??2?9?20t?(?212图3
)，
34C （4t－3）（32t+9）=0，解得t=128t?60t?27?0，∴AC=28×
34，t=
932（舍）
=21 n mile，BC=20×
34=15 n mile。
3根据正弦定理，得sin??BCsin?AC7214531415??2?53，又∵α=120°，∴β为锐角，
21145314β=arcsin
5314，又
5314＜＜
22，∴arcsin＜
?4，
∴甲船沿南偏东
?4－arcsin的方向用
34h可以追上乙船。
点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，
但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。
这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。
五、交汇问题
是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．
例6 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB?????????3 （Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）设BA?BC?，求a＋c的值.
234.
分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定
理等．
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解：（Ⅰ）由cosB?34,得sinB?3271?()?,
44由b2=ac及正弦定理得 sin2B?sinAsinC. 则cotA?cotC? ?1tanA??1tanCsinB?cosAsinA?1?cosCsinC?4?sinCcosA?cosCsinAsinAsinC
7. 22sinBsinBsinB7????????3332
（Ⅱ）由BA?BC?，得ca?cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．
224sin(A?C)由余弦定理b=a+c－2ac+cosB，
得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)2?a2?c2?2ac?5?4?9,a?c?3
222
易错题解析
例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2?b2?c2，求A的取值范围。 错解：∵a2?b2?c2，∴b2?c2?a2?0。则
b?c?a2bc222cosA??0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数
且cos90°?0，∴A?90°
又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。
辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形
的普通一条边，造成解题错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC中，若
ab222?tanAtanB，试判断△ABC的形状。
错解：由正弦定理，得
sinAsinB2?tanAtanB
即
sinAsinB22?sinAcosA·cosBsinB，∵sinA?0，sinB?0
∴sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
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