辨析：由sin2A?sin2B，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函
数的性质，三角变换生疏。
正解：同上得sin2A?sin2B，∴2A＝2k??2B
或2A?2k????2B(k?Z)。
∵0?A??，0?b??，∴k?0，则A?B或A?故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 例题3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC?错解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC?∴3?12?2?B。
3，求
12a?b?csinA?sinB?sinC的值。
3，又S△ABC?bcsinA，
csin60°，解得c＝4。
b?c?2bccosA?22由余弦定理，得a?1?16?8cos60°?13
又由正弦定理，得sinC?639，sinB?3239。
∴
a?b?csinA?sinB?sinC?13?1?432?3239?639。
辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得c?4，a?asinA13sin60°13。由正弦定理，得
2R???2393。∴a?b?csinA?sinB?sinC?2R?2393。
例题4 在△ABC中，c?6?2，C＝30°，求a＋b的最大值。
错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
asinA?bsin(150°?A)?6?2sin30°
∴a?2(6?b?2(6?2)sinA，
2)sin(150°?A)
又∵sinA?1，sin(150°?A)?1
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∴a?b?2(6?2)?2(6?2)?4(6?2)。
故a?b的最大值为4(6?2)。
辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是
相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。
正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
asinA?bsin(150°?A)?6?2sin30°
因此a?b?2(6??2(6??4(6?2)[sinA?sin(150°?A)]
2·)sin75°cos(A?75°)2)6?42·cos(A?75°)
?(8?43)cos(A?75°)?8?43∴a＋b的最大值为8?43。
例题5 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。
错解：由余弦定理，得c?a?b?2abcos15°
6?42222?4?8?2×2×22×?8?43 ∴c?6?2。
asinCc0又由正弦定理，得sinA?00?12
0而0?A?180，∴A＝30或A?150。
辨析：由题意b?a，∴B?A。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利
用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c?6?02，sinA?012，∵b?a，
0∴B?A，且0?A?180，∴A?30。
例题6 在△ABC中，?cosA?bcosB，判断△ABC的形状。
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错解：在△ABC中，∵acosA?bcosB，由正弦定理
得2RsinAcosA?2RsinBcosB
∴sin2A?sin2B，∴2A?2B且2A?2B?180° ∴A＝B且A＋B＝90° 故△ABC为等腰直角三角形。
辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。
正解：在△ABC中，∵acosA?bcosB，由正弦定理， 得2RsinAcosA?2RsinBcosB，∴sin2A?sin2B。 ∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
例题7 若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，角形。
错解：不妨设0?a?b?c，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。
cos??(a)?(b)?(c)2ab222c的三条线段能构成锐角三
?a?b?c2ab。
由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a?b?c，即cos??0。 ∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形。
辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长
线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。 正解：由错解可得cos??0
又∵a?b?c?(a?b?c)(a?b?cb?c)a?a?b?ca?b?c
?(a?a?b)?cb?c2??2aba?b?c?0
即长为a，b，
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c的三条线段能构成锐角三角形。
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1、（06湖北卷）若?ABC的内角A满足sin2A?1531532353，则sinA?cosA?
53A.
B．? C． D．?
解：由sin2A＝2sinAcosA?0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA?0， 又(sinA?cosA)2?1?sin2A?53，故选A
2、（06安徽卷）如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则
A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形
C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形
解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?A1B1C1是锐角三角形，若?A2B2C2是锐角
????sinA?cosA?sin(?A)A??A1211??222???????三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得?B2??B1，那么，A2?B2?C2?，
222??????sinC?cosC?sin(?C)C??C12112??22??所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。
3、（06辽宁卷）?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量
??????p?(a?c,b),q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为
(A)
?6 (B)
?3 (C)
?2 (D)
2?3
???222【解析】p//q?(a?c)(c?a)?b(b?a)?b?a?c?ab，利用余弦定理可得
2coCs?，即1cosC?12?C??3，故选择答案B。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
4、（06辽宁卷）已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ） Ａ．32 Ｂ．3 Ｃ．158 Ｄ．157
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解：依题意，结合图形可得tanA2?15152tanA222??1?(15151515?)2，故tanA?1?tan157A2，选D
5、（06全国卷I）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? A．
14 B．
34 C．
24 D．
23
解：?ABC中，a、b、c成等比数列，且c?2a，则b=2a，
cosB?a?c?b2ac222=
a?4a?2a4a2222?34，选B.
?36、06山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=3,b=1，则c=
(A) 1 （B）2 （C）3—1 （D）3 解：由正弦定理得sinB＝
12，又a?b，所以A?B，故B＝30?，所以C＝90?，故c＝2，选B
27、（06四川卷）设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a?b?b?c?是
A?2B的
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 解析：设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a?b?b?c?，
2则sinA?sinB(sinB?sinC)，则∴
1221?cos2a2?1?cos2B2?sinBsinC，
(cos2B?cos2A)?sinBsinC，sin(B?A)sin(A?B)?sinBsinC，
又sin(A?B)?sinC，∴ sin(A?B)?sinB，∴ A?B?B，A?2B， 若△ABC中，A?2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a?b?b?c?，
2所以a?b?b?c?是A?2B的充要条件，选A.
28、（06北京卷）在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则?B的大小是___________. 解： sinA:sinB:sinC?5:7:8?a?b?c＝5?7?8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
?由余弦定理可解得?B的大小为.
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