9、（06湖北卷）在?ABC中，已知a?334，b＝4，A＝30°，则sinB＝
32 . 解：由正弦定理易得结论sinB＝
32。
10、（06江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，
ACsin45??BCsin60?解得AC?46 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 11、（06全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ． 解析: 由?ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=?可得?B?AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD?3。
?3
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，
则cos2C? . 解：由三角形面积公式，得
12BC?CA?sinC?20sinC?12，即sinC?35．
于是cos2C?1?2sinC?2725从而应填
725．
13、（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=?,∠ABC=?.
A （1）证明 sin??cos2??0;
β B ?2α （2）若AC=3DC,求?的值.
?2解：(1)．如图3，????(??2?)?2??,?sin??sin(2??图3
?2D C )??cos2?，
即sin??cos2??0．
（2）．在?ABC中，由正弦定理得
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DCsin??ACsin(???),?DCsin??3DCsin?.?sin??3sin?
由(1)得sin???cos2?，?sin???3cos2???3(1?2sin2?),
即23sin2??sin??3?0.解得sin??32或sin???33．
?0????2?,s?i?n32??,??3 .14、（06江西卷）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知sinA?（1）求tan2223，
?sin2B?C2A2的值；
（2）若a?2，S△ABC?2，求b的值．
22313解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?，sinA?2，所以cosA＝，则
tan2B＋C2＋sin2A2＝2＋sin2A22B＋Ccos2sinB＋C
＝1－cos（B＋C）11＋cosA17＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA3312bcsinA＝122（2）因为S?ABC＝2，又S?ABC＝将a＝2，cosA＝解得b＝3
13bc?22232，则bc＝3。
42，c＝
3b代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中得b－6b＋9＝0
15、（06江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，
M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G， ?2?设?MGA＝?（???）
33A（1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示
为?的函数
B?MDNC书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库
（2）求y＝
1S12＋1S22的最大值与最小值
解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝
23?32＝33，?MAG＝
?6，
由正弦定理
GMsin?6＝GAsin（?－?－?6得GM＝）36sin（?＋?6
）sin?则S1＝
12GM?GA?sin?＝
sin?12sin（?＋?6，同理可求得S2＝
）12sin（?－?6
）（2） y＝
1S12＋1S22＝
1442sin?〔sin（?＋2?6）＋sin（?－2?32?6）〕＝72（3＋cot?），
2
因为
?3???2?3，所以当?＝
?3或?＝
时，y取得最大值ymax＝240
当?＝
?2时，y取得最小值ymin＝216
B?C216、（06全国卷I）?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos取得最大值，并求出这个最大值。
πB+CAB+CA
.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
22222
B+CAAAA13
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+
2222222πA1B+C3
当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为 22322
255
17、（06全国II）在?ABC中，?B?45?,AC?（1）BC??
10,cosC?,求
(2)若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 解：（1）由cosC?255?得sinC??55
22(cosC?sinC)?31010sinA?sin(180?45?C)?
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由正弦定理知BC?ACsinB?sinA?10310??32 1022（2）AB?ACsinB?sinC?1022?55?2，BD?12AB?1
由余弦定理知CD?BD?BC?2BD?BCcosB?221?18?2?1?32?22?13 18、（06四川卷）已知A,B,C是三角形?ABC三内角， ??????向量m??1,3,n??cosA,sinA?，且m?n?1
??（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若
1?sin2BcosB?sinB22??3，求tanB
解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
???（Ⅰ）∵m?n?1 ∴?1,3??cosA,sinA??1 即3sinA?cosA?1
???31???1?2?sinA??cosA???1, sin?A??? ?6?222????∵0?A??,?（Ⅱ）由题知
?6?A??6?5?6 ∴A?2?6??6 ∴A??3
21?2sinBcosBcosB?sinB22??3，整理得sinB?sinBcosB?2cosB?0
2∴cosB?0 ∴tanB?tanB?2?0
∴tanB?2或tanB??1
22而tanB??1使cosB?sinB?0，舍去 ∴tanB?2
?∴tanC?tan?????A?B?????tan?A?B???1?tanAtanB??1?23tanA?tanB2?38?5311
19、（06天津卷）如图，在?ABC中，AC?2，BC?1，cosC?（1）求AB的值； （2）求sin?2A?C?的值.
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解
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34．
决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，
2 AB2?AC?BC?22. 23A.C.BcCos?4C?1?2?2?1?4? 2.那么，AB?34（Ⅱ）解：由cosC?，且0?C??,得sinC?1?cosC?274.
由正弦定理，
ABsinC?BCsinA,解得sinA?BCsinCAB?148。
所以，cosA?5282。由倍角公式sin2A?sin2A?cosA?9165716，
且cos2A?1?2sinA?，
378故sin?2A?C??sin2AcosC?cos2AsinC?20、（07重庆理5）在?ABC中，AB?A.3?【答案】：A 【分析】：?AB?asinA0.
03,A?45,C?75,则BC =（ ）
3 B.2 C.2 D.3?3
3,A?45,C?75,由正弦定理得：
00 ?csinC,?BCsin45??ABsin75??36?42,
?BC?3?3 .13?，C?150，BC?1，则AB?
21、（07北京文12理11）在△ABC中，若tanA?13?解析：在△ABC中，若tanA?，C?150，∴ A 为锐角，sinA?110，BC?1，
则根据正弦定理AB?BC?sinCsinA=102。．
22、（07湖南理12）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，
c?3，则B? ．
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