【答案】
5π6
1?3?72?1?3325π6【解析】由正弦定理得cosB???,，所以B?.
23、（07湖南文12） 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
?若a?1,c?3,C?，则A= . 33【解析】由正弦定理得
asinA?csinC?sinA?asinCc?23?12，所以A=
。
π6
24、（07重庆文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 【答案】：3
【分析】：由余弦定理得：AC?1?2?2?1?2?cos60?3.?AC? 24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小
222?3.
的锐角为?，那么cos2?的值等于 ．
解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，
?a2?b2?25?设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则?1，
ab?6??2∴ 两条直角边的长分别为3，4， 设直角三角形中较小的锐角为?，cosθ=25、（07福建理17）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
1?1435?35??1．
4514，cos2θ=2cos2θ－1=，tanB?35725。
．
解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??41?书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库
又?0?C?π，?C?（Ⅱ）?C?3434π．
?，?AB边最大，即AB?17．
又?tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．
???sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，
?2??sin2A?cos2A?1，????得sinA?1717．由ABsinC?BCsinA得：BC?AB?sinAsinC?2．
所以，最小边BC?2．
26、（07广东理16）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)． （1）若c?5，求sin∠A的值； （2）若∠A是钝角，求c的取值范围． 解析：
????（1）AB?(?3,?4)????，AC?(c?3,?4)，若c=5，
????则AC?(2,?4)， 255∴cos?A??????????6?161cos?AC,AB???5?255??3c?9?16?0?c?0，∴sin∠A＝
?253；
253,??)2）若∠A为钝角，则?解得c，∴c的取值范围是(；
27、（07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．
解：在△BCD中，?CBD?π????．
由正弦定理得
BCsin?BDC?CDsin?CBD．
所以BC?CDsin?BDCsin?CBD?s?sin?sin(???)．
在Rt△ABC中， AB?BCtan?ACB?s?tan?sin?sin(???)．
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????????????????28、（07湖北理16）已知△ABC的面积为3，且满足0?AB?AC?6，设AB和AC的
夹角为?．
（I）求?的取值范围；（II）求函数f(?)?2sin2?????????4? 3cos2?的最大值与最小值．
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则由
1?ππ?． bcsin??3，0≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，∴???4，?22???π??????4???π??3cos2???1?cos??2?????2???3cos2?
（Ⅱ）f(?)?2sin2??(1?sin2?)?3cos2??sin2??π?3cos2??1?2sin?2??3????1． ?π?π2π?π???ππ?∵???，?，2????，?，∴2≤2sin?2????1≤3．
3?63?3???42?即当??5π12时，f(?)max?3；当??π4时，f(?)min?2．
29、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
a?2bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围．
解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B???π612，
．
（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???1232??????A??cosA?sin??A? ???6????3sin?A??．
3???cosA?cosA?sinA??2?2由△ABC为锐角三角形知，?A??B，
?2?B??2??6??3．
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2?3?A??3??6，所以
1??3?． sin?A???232??3，
由此有
32???3?3sin?A????3?2??33所以，cosA?sinC的取值范围为?，?22??． ?????30、（07全国卷2理17）在△ABC中，已知内角A?周长为y．
（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．
解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?BCsinA23sin????，边BC?23．设内角B?x，
，B?0，C?0得0?B?2??．
应用正弦定理，知AC?sinB?sinx?4sinx，
AB??2??sinC?4sin??x?． sinA???BC 因为y?AB?BC?AC，
?2?2?????x??23?0?x??， ?3??????1?sinx??23 ?2?
所以y?4sinx?4sin???
（2）因为y?4?sinx??cosx? ?4?????3si?nx?????????5????2?3?x???，
????? 所以，当x??，即x???时，y取得最大值63．
31、（07山东理20）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向?匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两
船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向
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的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结A1B1，由已知A2B2?102，
A1A2?302?2060北 ?102，
?120 A2
?A1A2?A2B1，
B2 ?105 A1
又∠A1A2B2?180??120??60?，
?△A1A2B2是等边三角形，
B1 乙 甲
?A1B2?A1A2?102，
由已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105??60??45?， 在△A1B2B1中，由余弦定理，
222B1B2?A1B1?A1B2?2A1B2?A1B2?cos45?20?(102)?2?20?102??2222?200．
?B1B2?102．
10220因此，乙船的速度的大小为． ?60?302（海里/小时）
答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图，连结A2B1，
由已知A1B2?20，A1A2?302????2060?102，∠B1A1A2?105，
????cos105?cos(45?60)?cos45cos60?sin45sin60
??2(1?43)北 ，
120 ??A2
???????sin105?sin(45?60)?sin45cos60?cos45sin60 B2 105 A
1?2(1?43)B1 ．
乙 甲
在△A2A1B1中，由余弦定理，
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