量子力学常用积分公式 (1)
nax?xedx?1naxnn?1axxe??xedx (n?0) aaeax(asinbx?bcosbx) (2) ?esinbxdx?22a?baxeax(acosbx?bsinbx) (3) ?ecosaxdx?22a?bax(4)
?xsinaxdx?11sinax?xcosax 2aa22x2x)cosax (5) ?x2sinaxdx?2sinax?(2?aaa(6)
?xcosaxdx?21xcosax?sinax
aa22xx22?3)sinax) (7?xcosaxdx?2cosax?(aaa
xcax2?c?ln(ax?ax2?c) (a?0) 22a(8)
?ax2?cdx?
?xc?aax2?c?arcsin(x) (a<0) 2c2?a(n?1)!!? (n?正偶数)
n!!2??20sinnxdx
(9) = ?20cosnxdx (n?1)!! (n?正奇数) n!! (10)
? (a?0) 2??0sinaxdx? x ?(11))
? (a?0) 2??0e?axxndx??ax2n! (n?正整数,a?0) an?1(12)
??0edx?1? 2a(13) (14)
??0?x2ne?axdx?22(2n?1)!!?
2n?1a2n?1n! n?12a?0x2n?1e?axdx?(15)
??0sin2ax?adx? 22xxe?axsinbxdx?2ab (a?0)
(a2?b2)2(16)
??0
??0xe?axa2?b2 (a?0) cobsxdx?2(a?b2)2第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能V(x)?1m?2x2] 2(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:pdq?nh
?
在量子化条件中,令p?mx为振子动量,q?x 为振子坐标,设总能量E
?P2m?2x2m?2x2?则 E? p?2m(E?) 2m22
代入公式得:
?m?2x22m(E?)dx?nh
2量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍,要决定振幅a,注意在A或B点动能为0,E?1m?2a2,(1)改写为: 22?m?a2?x2dx?nh (2)
?aa积分得:m?a??nh 遍乘
21?得 2?h?E??n??
2?[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为?,直接写出位移x,用t的项表示:
q?x?asin?t
求微分:dq?dx?a?cos?tdt (4) 求积分:p?mx?ma?cos?t (5) 将(4)(5)代量子化条件:
222pdq?ma?cos?tdt?nh ??0T?T是振动周期,T=
2??,求出积分,得
m?a2??nh E?h?n?n?? 2? n?1,2,3 正整数 #
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为a,b,c.
(解)三维问题,有三个独立量子化条件,
可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如
px??px),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完
成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:
?pdq?nh?2p?xxxax0bdx?2ady?2bpx (1) (2)
?pydq?nyh?2yp?z0y0pzy?pdq?nzh?2zzp?dz?2cpc (3)
22px?py?pz2总能量是:
p,p,pxyz都是常数,总动量平方p?p2122E??(px?py?pz2)
2m2m=
1nxh2nyh2nzh2[()?()?()] 2m2a2b2c2hnynn=[(x)2?()2?(z)2] 8mabc但nx,ny,nz?1,2,3 正整数.
#
[3] 平面转子的转动惯量为?,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角?）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的
角动量??,但???是角速度,能量是E??利用量子化条件,将p理解成为角动量,q理解成转角?,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
2?12?? 2?pdq??(2)
0??d??2????nh (1)
(1) 说明?是量子化的
??nhn?? (n?1,2,3……..) (2) 2???12?n?2n2?2(3) 代入能量公式,得能量量子化公式:E????()? (3)
22?2?#
[4]有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度
是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
Bevmv2? (1) cr又利用量子化条件,令p?电荷角动量 q?转角?
2??pdq??mrvd??2?mrv?nh (2)
0即 mrv?nh (3) 由(1)(2)求得电荷动能=
12Be?n mv?22mc再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能
磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*Bv??=,v是电荷的旋转频率, v?,
ccc2?r代入前式得
Be?n (符号是正的) 2mcBe?n
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( n?1,2,3 )
2mc
运动电荷的磁势能=
#
[5]对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出:
E?mc21?vc22 (1)
p?mv21?vc22 (2)
试根据哈密顿量 H?E?m2c4?c2p2 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
q??i?H?p,本题中
iq?v,pi?i?p,因而