??1*22*3???????dx?2mi????i????*??3?????*?*?3?????????????????x，tVx，x?x，t??x，tVx，x?x，tdx?dx??0?????????????x?x??将前式等号左方第一项变成面积分[高斯定理]，第二项变成六重积分：
??2mix??1??????????ds????i**s?????*?*?*???????x?，t?]d3x?d3x??0?????????[?x，tVx，x?x，t??x，tVx，x???????* (4 )
前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（??0，??x??0当x??时）可消去，因??x，t?和??x?，t?形式相同,xx?对易：
?????????????????????x，t?Vx，x?Vx，x?x，t??d??????**?x?3x?d3x??0 （5）
这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即： V?x，x???V??*???x，x??
因此V?x，x??必须是x，x?实函数。#
????[15]写出动量表象中的薛定谔方程式。
[解]本题可有二中[A]含时间薛定谔方程式，[B]定态薛定谔方程式。 [A]写出含时间薛氏方程式：
???22?????V?x?? （1） ?i?t2m为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式：
? ??x，t???? ??p，t????2?2???3/2?2?ip?x/?3???x，tedp （2） ????????2???3/2???ip?x/?3?????x，t?edx （3）
为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘?1?2???3/2e???ip?x/h，对空间积分：
1?2???3/22????i?????ipe?x/?d3x?t2?ip?x/?3??edx??????12m?2???3/213/2
?左方变形
V?x?e????2????ip?x/?d3x?
???1??ip?x/?3?i??x，t?edx?t?2???3/2??? (4) ????i??p，t??t等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量：
?1?2???3/2??2?2?2?2?i?pxx?pyy?pzz?/??2?2?2??dxdydz (5) ??e2m?????x?y?z??
计算（5）的x部分分部积分法：
?2?i?pxx?pyy?pzz?/?edxdydz 2???zyx?x????i?pxx?pyy?pzz?/?????d?dydz ?e?x?zyx??????i（pxx?pyy?pzz）/??xy?xe??dydz
?ipx??????i?pxx?pyy?pzz?/??xedxdydz ??ipxi（pxx?pyy?pzz）/?????ed?dydz
zyx??ipxi（pxx?pyy?pzz）/??????exy??dydz
?（ipx2i（px?py?pz）/??）???exyz?dxdydz zyx??p2xi（pxx?pyy?pzz）/??2???e?dxdydz
zyx?2?2关于?y2，?z2的积分按同法计算，（5）式的结果是
1??2?2???3/2????????p222x?py?pz?????x，t?e?i?p??x/?2m?dxdydz??2??p212m????2?h?3/2??x，t?ei?p??x/? ?p2?2m??p，t? 再计算（4）式右方第二积分
1?2???V??x????x，t?e?i?p???x/????3/2d3x ??1?2???3/2???V??x?{???p?，t?e?i?p???x/?d3p?} ?????pe?ip?x/hd3x?12????????p?，t?{V??x?ei（p??p）?x/?d3x}d3p? ????p?????G??p，?p??????p?，t?d3p? ?p
7） （
但最后一个积分中
???1???i（p??p）?x/?3??G?p，p???Vxedx ???2?h?p?指坐标空间，?p指动量相空间，最后将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方
程式如下：
?p2??????i??p，t????p，t?????G?p，p????p?，t?d3p? （8） ?t2m?p若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒
子能量为E，坐标表象的薛氏方程：
?22??????x???E?V?x????x??0 2m动量表象方程也是积分方程式，其中G（p，p?）是这个方程式的核（Kernel）
??p2????????p??E??p?????G?p，p????p?，t?d2p??0 （9） 2m?p#
[16]*设在曲线坐标（qqq）中线元ds表为
2ik ds?gikdqdq
123写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。 （解）dx??x?x?xdq1?dq2?同样关于y,z有类似的二式。（这里为书写方便q的上?q1?q2?q3标改成下标。）
*参看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11
???x?2??y?2??z?1?2??????ds2?dx2?dy2?dz2?????dq1 ??q???q???q????1??1??1??????x?2??y?2??z?1?2?????? ?????dq2??q???q???q????2??2??2??????x?2??y?2??z?1?2?????q??????q??????q???dq3 ???3??3??3?????x?x?y?y?z?z??2????dq1dq2 ??q1?q2?q1?q2?q1?q2???x?x?y?y?z?z??2????dq2dq3 ??q2?q3?q2?q3?q2?q3???x?x?y?y?z?z??2????dq3dq1 ??q3?q1?q3?q1?q3?q1?（令gik??xyz?x?x）为坐标变换系数：
?qi?qk???设沿曲线坐标等势面的单位矢量是a1，a2，a3则
?????????grad?????i?j?k
?x?y?z???a1??a2??a3???? ?
g11?q1g22?q2g33?q3 ?1???g22g33??????] [a1g11g22g33?q11?g22g33??{[]g11g22g33?q1g11?q1?g33g11???g11g22??[]?[]} （1） ?q2g22?q2?q3g33?q3?2??div?grad???
?代入直角坐标薛定谔方程式：
??2?gg????g11g33????i???q1q2q3t???{[2233]?[] ?t2mg11g22g33?q1g11?q2?q2g22?q2??g11g22???[]}?V??q1q2q3????q1q2q3t? （2） ?q3g33?q2但 ???q1q2q3t???{x?q1q2q3?，y?q1q2q3?，z?q1q2q3?，t} V??V{x?q1q2q3????}
在球坐标情形x?rsin?cos?，y?rsin?sin?，z?rcos?式正交坐标系
??x???y???z?g11??????????1
??r???r???r?222