? v?m2c4?c2p2??pc2pmc?cp2422 (4)
从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度v间的关系.运用德氏的假设: p??k于(3)式
G右方, 又用E???于(3)式左方,遍除h:
m2??c4?2?c2k2??(k) 按照波包理论，波包群速度
vG是角频率丢波数的一阶导数：
v?m2c4G??k?2?c2k2 =
c2k?c2pm2c4m2c4?c2p2
22?2?ck最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而vG?v。
又按一般的波动理论，波的相速度
vG是由下式规定
vp?????k （?是频率）
利用（5）式得知
vm2c4p??2k2?c2?c （6） 故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出vG和
vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
E??c2c2c2p??k?v?v， vp?
Gv （7）G#
[6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
n1sin?1?n2sin?2
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理??pdl?0??pdl?0这将导得下述折射定律
认为p?mv则
nsin??nsin?1331
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：p?粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有?Ev仍就成立，E是2c?pdl?0，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定
点A到定点B的路径是两段直线：光程
I?n1AQ?n2QB
设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有
I?n1asec?1?n2bsec?2
又AB沿界面的投影c也是常数，因而
?，?12存在约束条件：
atg?1?btg?2?c （2）
求(1)的变分,而将
?,?12看作能独立变化的,有以下极值条件
?I?n1asec?1tg?1d?1?n2bsec?2tg?2d?2?0 (3)
再求（2）的变分 asec(3)与(4)消去d22?bsec?1d?1?2d?2??c?0
?和d?1222得
nsin??nsin?11 (5)
[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: I?n1a2?x2?n2b2?(c?x2)
求此式变分,令之为零,有： ?I?nx?x1a?x22?n(c?x)?x2b?(c?x)22?0
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度
vG光程原理作
??vGdl?0,依前题相速vp?波阵面速度则是相速度
c2v,而
vG?c2Gv?cn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,而
pvp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.
??ndl?0
前一非难是将光子的传播速度v看作相速度#
[7]当势能V(r)改变一常量C时,即V(r)?V(r)?c,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
(解)设原来的薛定谔方程式是
vp的误解.
???d2?2m?2[E?V(x)]??0 将方程式左边加减相等的量C?得: dx2?d2?2m?2{[E?C]?[V(x)?C]}??0 2dx?这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解?(x), 从能量本征值来说,后者比前者增加了C。
#
[8]设粒子势能的极小值是
E?Vmin
n (证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E
?22E?????[???V(r)?]d3x
2m?*其中动能平均值一定为正:
?22T?????(??)?d3x
2m*?2{?[?*??]???*??}d? =????2m?2?2**??(???)d??????d? =???????2m2m?2??2**用高斯定理:T??(???)?ds?????d? ?????2mB2m?2* =?????d? ???2m?中间一式的第一项是零,因为让能量平均值 V? #
[9]设粒子在势场V(r)中运动
假定满足平方可积条件,因而T?0因此 E?T?V?V,能
Vnmin因此E?得证
Vmin令???n(本征态)则E?En而
E?Vmin?(1)证明其能量的平均值
?2??*???]dx (1) 是:E??Wdx??[2m2其中W是能量密度 (2)证明能量守恒公式
??W???S?0 (2) ?t??2??*??(????*) (能流密度) 其中 S??2m?t?t?22???V? (3) (证明)(1)三维粒子的能量算符是:H??2m?求H在状态?中的平均值
??22 E?????H?dx?????(????V?)d3x
2m??*?*由于?????(???)?????，将此式代入前一式：
*2**?2E?????{?(?*??)???*??}dx3?????*??dx
2mrr?2?2*3*3*??{?(???)dx?????dx????dx ?????????2mr2mrr最末一式按高斯定理化为面积分
??2*3*??(???)dx???????dS 2m???rS若?满足平方可积条件，则
*?lim???0，S考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴ r??⑵求⑴式中能量密度W的时间偏导数，注意?。?一般都含时间，??，??也是如
**?W??2?{??*????*??} 此，因而：?t?t2m?2????*??*??*?{???????}?????*? 2m?t?t?t?t?2??*??2*??*2*???{??[???????]?[?????]} 2m?t?t?t?t??*???????*? ?t?t?2??*??*?22*?????[???????]?[??????] 2m?t?t?t2m???22*[??????*] ??t2m粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：
???22??*?22*??????? ??i???????* ?i?t2m?t2m??2??*??[??????*]则有 又设S??2m?t?t???*??????*??W????S??????S ?t?t?t?t?t公式⑵得证。
[10]设N个粒子的哈密顿量为：
N???22N?H????i???ij[ri?rj] ⑴
i?12mi?1????(r1r2?rN,t)是它的任一态函数，定义：
?(r,t)???i(r,t) ⑵
????j(r,t)??ji(r,t) ⑶
???1(r1,t)????d3r3d3r3?d3rN?*?
???333**j1(r1,t)??drdr?dr(???????) 33N11??2im?