g22??x???y???z???????????r
??????????????x?????????y?????????2222g33代入后得
???z???????????rsin? ???22????2??2???????????i??{rsin??sin?????22?t?r?r????2mrsin?????
??1???????}?V??r，?，?????????sin????化简得
????2??2????1???????i??{r?sin?????2?t?r?sin???????2mr?r?
1??????????}?V??r，?，??????sin2??????#
[17]证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即
????* ??v?0?v?j/?? ????
（证明）薛定谔方程式为：
?22????V??E? （1） 2m??*?根据它的解??x，t?和它的共轭波函数??x，t?可写出几率密度ρ和几率流密度J：
????
*??i J?（???*??*??）2m??i????*??*????i???*???????速度算符 v? **?2m2m????????i?1??*1?????1??*1?????1??*1????????{??i???j???k} ***??????2m???x??x????y??y????z??z??i???*???*???*?i?lnj?ln?ln2m??x??y??z?*???i??*?k???ln????? 2m???因而证明v是一个标量场??x?/??x?的对数的梯度。梯度是非旋的。
??（周）
[18].证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
?(r，t)??(r)f(t)???Et ??(r)e?i? J?(???*??*??)2m
iiii?Et?Et???Et???Et*??i? ?[?(r)e?（?(r)e）??*(r)e??（?(r)e?）]2m??i?*?*? ?[?(r)??(r)??(r)??(r)]2m? 可见J与t无关。
i??
[19]. 由下列定态波函数计算几率流密度：
11r (1)?1?eik ( 2 ) ? 2?e?ikrrr 从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。
?? 解：J1和J2只有r分量
???1??1??e?在球坐标中 ??r0?e?
?rr??rsin????i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2mi?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rr i?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ?r?r203mrmr?? J1与r同向。表示向外传播的球面波。
?i?**(2) J2?(?2??2??2??)2mi?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr? ?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rri?111111?
?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ??2r0??3rmrmr??J 可见，2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
? ∴波函数不能按?(x)???? ??*?dx?dx??
2?dx?1方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 ???
2?1表示粒子在空间各处出现的几率相同。