???求证：???j?0 ⑷
?t[证明]按定义：
???????i(r,t) ?t?ti?*?? ?t*?????d3r1?d3ri?1d3ri?1?d3rNi3333????*?????dr1?dri?1dri?1?drN(???)
?t?ti????i(ri,t) ⑸
i多粒子的体系的状态?(r1r2?rN,t)应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共
??????22??(??)???vjk? （6a） 轭方程式： ?i?t2mkjk??*?22??i??(??k)?*??vjk?* (6b)
?t2mkjk????*将前二式等式右方的式子代替左方的，，代进式⑸
?t?t??i?22????d3r1?d3ri?1d3ri?1???(?*?k????k?*) ?t2imk ??dr1?dri?1dri?1???333??jk1*(?vjk???vjk?*) i??????d3r1?d3ri?1d3ri?1?d3rN??k?22(?*?k????k?*) 2im??,k?(?*?k????k?*) 2im?????d3r1?d3ri?1d3ri?1?d3rN??k ————————————⑺
又待证的公式的等号左方第二项是：
????j???i??ji(ri,t)
ii?????(?1??2???i?)[j1(r1,t)??ji(ri,t)??] ????????1?j1(r1,t)??2?j2(r2?,t)???i?ji(ri,t)?
?????i?ji(ri,t)
i????d3r1?d3ri?1d3ri?1?d3rN??,i?(?*?i????i?*) ⑻ ??2imi
???????i?????d3r1?d3ri?1d3ri?1?d3rN???,k?(?*?k????k?*)?t?tiik2im------------------------------------⑼ 将⑼式两个求和合一，注意到i?k的项不存在，因而⑻⑼等值异号。 [11]设?1与?2是薛定谔方程式两个解，证明
**3与时间无关。 ??(x,t)dx1(x,t)2??????[证明]试将此式对时间求偏导数，再利用?1，?2所满足的薛定谔方程式，有：
???*1*3*??2?(???)d3x 1?2dx?12???????t??t?t???*1?22*????1???*1 因??i?t2m??2?22????2???2 ??i?t2m??*32**23??dx?(?????121?1???2)dx2????t?????2mi?????1(??*1?2????*1?2)d3x?i*1
??2mi?????(?????2??*1???2)d3x
???** (????????)?ds1?1222mi??最后一道等号是利用高斯定理将题给的体积分（τ）变换成（τ）的包围面S的面积分，若Ψ1，Ψ2满足平方可积条件 lim?1?0,?r??lim??1?0 ?r??*3??(x,t)dx是与时间无关的。 1(x,t)2???等，可使这面积分等于零。所以体积分#
[12] 考虑单粒子的薛定谔方程式：
?????????22???(x,t)?[V1(x)?iV2(x)]?(x,t) i??(x,t)???t2mV1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。 解：要证明几率不守恒，可以计算总几率的时间变化率，先考察空间一定体积Ω中粒子出现的总几率，按Born假设，总几率是 P?求总几率的时间变化率
??d????*3x
?P???**3*?? ??????dx????(???)d3x （1）
?t?t??t?t???*??再根据薛定谔方程式和其共轭方程式求出和，有
?t?t?1???2?????[V1?iV2]????t2mi?i ? （2） *???1*???2?*?[V1?iV2]??2mi?i??t将（2）代入（1），化简后得
2V?P?????{?(?*?2????2?*)?2?*?}d3x ?t2mi??利用高斯定理将右方第一项变形：
?P?2????{???(?*??????*)}d3x?????*V2?d3x ?t2mi????2?**?????(???????)?dS?????*V2?d3x （3）
???2mi如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处??0，
????*?0，因而（3）式的面积分等于0。
?P2?????*V2(x)?d3x （4） ?t??*3?????dx不守恒，因为
这证明总几率P???P?0。 ?t如果考察有限体积Ω之内总几率的变化率，令：
??J?(?*??????*)
2mi（3）式改写为：
??2?P?????J?ds?????*V2(x)?d3x （5） ?t??s???P是空间?内粒子几率减少或增加的速度，右方???J?ds是指?的包围面S上几率流?ts动的速度（流进或流出），右方速率，题目所指的是这一项。 [13]对于一维自由运动粒子，设?(x,0)??(x)求?(x,t)。
（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是
能量是E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许p，
多平面波的叠加），其波函数： ?(x,t)?22?*3?V(x)?dx指由虚数势能引起的，附加的几率变化2??????2???(p)e1?p????(p)ei(px?Ei)?dp （1）
这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令t?0应有 ?(x,0)??2??1?ipx?p???dp （2）
但按题意，此式等于?(x)。但我们知道一维?函数一种表示是：
?(x)?12???k???eikxdk （3）
将（2）（3）二式比较：知道k?p，并且求得?(p)??i(px?Ei)?12??，于是（1）成为
?(x,t)?2???1?p???edp （4）
p2这是符合初条件的波函数，但p,E之间尚有约束条件E?（因为是自由粒子，
2m总能量等于动能），代入（4）
ip2(px?i)?2m?(x,t)?2???1?p???edp （5）
将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： ?(x,t)?12??eimx22?t??p???e?itmx(p?i)2m?2dp
利用积分
????e???d??2? ： ?2m?? it ?(x,t)?12??eim2x2?t写出共轭函数（前一式i变号）：
?(x,t)? ?(x,t)212??e?imx22?t2m?? ?it?12m??m??
t2??t(2??)2本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：
?????tmx2tmx2cos[(p?)]dp?i?sin[(p?)]dp
??2m?t2m?t2?imx?(x,t)1m??2?t用课本公式得*，两者相乘，可得相同的结果。 ?(1?i)e?(x,t)2??t#
[14]在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：
??22???? ?i??x，t??????x，t???V?x,x????x?，t?d3x? （1）
?t2mx/求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数?在空间一点的几率波是否存在？ [解]按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出V?x，x??应当遵守的要求。几率守恒的条件是：
?*3??dx?0 ????t??*????*?3或 ???????t??t???dx??0 (2 )
???与[13]题类似，可写出[1]的共轭方程式：
?*??22*??????i??x，t??????x，t?????V*?x，x???*?x?，t?d3x? (3 )
x??t2m????*将[1]和[3]中的和想等同的式子代入到[2]式中去，就得到如下的条件：
?t?t