?5x?10y?60,?取最大值. 解方程组?8x?2y?40.
得x?4,y?4.即x?4,y?4时，z取最大值，z的最大值为25.2。
（天津）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为?,tan?=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
,0)，解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200B(0,220)，C(0,300)．
直线l的方程为y?(x?200)tan?，即
y?x?2002．
CBy设点P的坐标为(x,y)，则由经过两点的直线的斜率公式
P(x,x?200)2（x?200）
kPCP?oAxkPBx?200?300x?8002??x2x， x?200?220x?6402??x2x．
由直线PC到直线PB的角的公式得
tanBPC?kPB?kPC1?kPBkPC16064x2x??2x?800x?640x?288x?160?6401??2x2x
6416?0640x??288x （x?200）
160?640x??288x要使tanBPC达到最大，只须达到最小．
160?640160?640x?x??288?2160?640?288xx由均值不等式．当且仅当时上式320?200y??60y2取等号．故当x?320时tanBPC最大．这时，点P的纵坐标为．
?0??BPC?2，所以tanBPC最大时，?BPC最大．故当此人距由此实际问题知，
水平地面60米高时，观看铁塔的视角?BPC最大。
? 命题走势
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(7) 三年的“直线与圆的方程”考了哪些内容？
近三年全国高考对本章设题考查了4个方面的内容； 一、直线方程和两直线的位置关系 求直线方程的主要方法是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意形式的选择，注意讨论的思想.平行与垂直是平面内两直线的两种特殊位置关系.高考时该考点每年必考，常考常新.
【例1】 （2005年全国Ⅲ）已知过点A??2，m?和B?m，4?的直线与直线2x?y?1?0平行，则的值为 ( )
A 0 B ?8 C 2 D 10
????解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a=(1,-2),AB?(m?2,4?m),由AB?a
即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B.
【例2】 （2006年上海）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．
已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：
① 若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的
点有且仅有1个；
② 若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为 （p，q）的点有且仅有2个；
③ 若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：选（D）
① 正确，此点为点O； ② 正确，注意到p,q为常数，由p,q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为
M（p，q）
l1l2
O q（或p）； ③ 正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的
两条平行线的交点.
二、简单线性规划
线性规划是教材的重点内容，也是高考的热点之一，2006年高考有12个省市都对该知识进行考查.一般为中、低档题.
【例3】（2005年浙江）设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，
则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
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?x?01??y?00?x??2???1?x?y?01?解：由题意可知?得?0?y?由此可知A所表示的平面区
2x?y.?1?x?y???1?1?x?y?x?y?2?x?y?1???1?x?y?y?x域(不含边界的阴影部分)是(A )
?x?y?4? 【例4】 （2006年北京）已知点P(x,y)的坐标满足条件?y?x，点O为坐标
?x?1?原点，那么|PO|的最小值等于2,最大值等于
_________________________10.
解：画出可行域，如图所示：
y易得A（2，2），OA＝22 BB（1，3），OB＝10 C（1，1），OC＝2 故|OP|的最大值为10， 最小值为2.
COAx【例5】 （2007年全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x?y?1?0的距离为2，2且位于??x?y?1?0，表示的平面区域内的点是（ ）
?x?y?1?0 - 8 -
， A．(11)， B．(?11)
，?1) C．(?1，?1) D．(1解：C 先看满足第一个条件的点，1-1+1=1,-1-1+1=-1,-1-(-1)+1=1,1-(-1)+1=3,排除D.再看满足x-y+1>0的点，可以排除B，而A不满足x+y-1<0,故只有C.
三、圆的方程
重点考查标准方程和一般方程，有时也将圆的方程作为解答题考查.
【例6】 （2005年北京）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆
O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM?坐标系，并求动点P的轨迹方程.
P
M N O1 O2
分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何
关系式：ＰＭ＝2PN,即
ＰＭ＝２ＰＮ，结合图形由勾股定理转化为：
２
２
2PN.试建立适当的
2PO12?1?2(PO2?1),设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求
轨迹方程.
解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， y P M N x
O1 O2 O
则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝2PN,即 ＰＭ＝２ＰＮ，
２
２
因为两圆的半径都为1,所以有：PO1?1?2(PO2?1)，设P（x,y） 则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即(x?6)?y?33
综上所述，所求轨迹方程为：(x?6)?y?33（或x?y?12x?3?0）
22222222 - 9 -
评析：本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思
想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等。
【例7】 （2006年上海卷）已知圆x－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ．
解：由已知得圆心为：P(2,0)，由点到直线距离公式得：d?
【例8】（2007年湖南卷）圆心为(11)，且与直线x?y?4相切的圆的方程是 ． 解：设圆的标准方程为(x?1)2?(y?1)2?r2，且与x+y=4相切，∴
2|2?0?1|2?. 21?1r?
|1?1?4|2?2,所以圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2.
四、直线与圆的位置关系
【例9】 （2005年重庆卷）若x2?y2?4,则x?y的最大值是 . 解：令x=2cosα,y=2sinα,则x-y=2cosα-2sinα=2
2sin(
?4??)≤22,∴若
x2?y2?4,则x?y的最大值是22.
【例10】 （2006年全国卷Ⅱ）过点(1,2)的直线l将圆(x?2)2?y2?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= .
解：(数形结合)由图形可知点A(1,2)在圆(x?2)2?y2?4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l?OA,所以kl??112 ???kOA2?2【例11】 （2007年江西卷）设有一组圆Ck:(x?k?1)2?(y?3k)2?2k4(k?N*)．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．
Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
解：圆心为（k-1,3k）.圆心在y=3(x+1)上移动，半径也随k的增大而增大，故y=3(x+1)一定与所有的圆均相交，故B正确C不正确.
对于选项A，设存在定直线Ax+By+C=0与圆相切.
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