在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
1. 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离
d?42?(232)?1， 2结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|2k?172化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??
24求直线l的方程为：y?0或y???1,w.w.w..s.5.u.c.o.m
7(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0 24(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：
111y?n?k(x?m),y?n??(x?m)，即：kx?y?n?km?0,?x?y?n?m?0
kkk因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。
w.w.w..s.5.u.c.o.m 41|??5?n?m|k故有：|?3k?1?n?km|?k，
21k?1?12k化简得：(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5 关于k的方程有无穷多解，有：??2?m?n?0?m-n+8=0,或??m?n?3?0?m+n-5=0w.w.w..s.5.u.c.o.m
解之得：点P坐标为(?3,13)或(5,?1)。
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