第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的极限与连续
1.填空
（1）设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. （2）设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.
（3）设z?z?y?x?1.
y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,
2（4）函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.
22222x?y（5）函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是
{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域
可用平面图形表示为（图8.1）
（6）函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1
22是间断的.
解 （1）f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)
=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.
（2） 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1
uv?1,y?u,于是
2 f(u,v)? （3）于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.
y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x?1).
22x?1?t,即x?(t?1)2,于是
f(t)?(t?1)?1?t?2t
2故 f(x)?x?2x . 从而 z?y?f(x?1)?y?x?1.
（4）、（5）的解略去.
（6）函数的间断点是函数的定义域的聚点中那些函数不连续的点,而函数
222222u?ln(1?x?y)的定义域是开区域x?y?1,因此其间断点为x?y?1,而不是
x?y?1.
222.求极限 （1）
(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)exy2222(x?y)22; （2）
(x,y)?(?,a)lim(1?1xx2)x?y.
1
解 （1）
(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)exy22222sin2x?y2222(x?y)2222=
(x,y)?(0,0)lim2x?y2
=
(x,y)?(0,0)limsinx?y2x22sin.x?y222x?y2=0?1=0.
（2） 而
lim(x,y)?(?,a)lim(1?1x)x?y=
(x,y)?(?,a)lim[(1?1xx)]xx?y
xx?y=1, 故原极限=e.
x?yx?y2(x,y)?(?,a)242423.证明
24(x,y)?(?,?)lim?0. ?1(12证 0?x?yx?y24?x?y2xy222y2?1x),而 2(x,y)?(?,?)lim12y(12?1x2)?0,
故原极限=0.
4.证明极限 证 由于
(x,y)?(0,0)limxy2222xy?(x?y)2不存在. =limxx44(x,y)?(0,0)y?xlim2xy2222xy?(x?y)=1, 4x22x?0而
(x,y)?(0,0)y?2xlimxy2222xy?(x?y)xy222=lim4x442x?04x?x=limx?04x?1=0.
22故极限
(x,y)?(0,0)limxy?(x?y)不存在.
?x2y42,x?y?0?425.讨论函数z??x?y的连续性.
42?0,x?y?0? 解 因为
(x,y)?(0,0)2y?kxlimxyx?y42=limkx4424x?0x?kx=
k221?k.
此值随k值不同而不同,故极限
(x,y)?(0,0)limz不存在,从而函数z在（0,0）点不连续.
在除（0,0）点外的区域上,函数z?xyx?y42是初等函数,故在其定义区域上连续.
注意 常犯的错误一是只讨论了函数在（0,0）点的连续性,没讨论函数在定义域内其 它点处的连续性;二是求（0,0）点的极限时,出现了如下：
xyxylim lim= （错误的式子） 4242(x,y)?(0,0)x?y(x,y)?(0,0)x?yy?kx事实上,记号“
limxy?”表示点(x,y)以任意的方式无限接近（0,0）点,而记号
2
“
lim”表示点(x,y)只能沿直线y?kx无限接近点（0,0）点,这两者意义显然是不同
(x,y)?(0,0)y?kx的.
第二节 多元函数的偏导数
1.填空 （1）z?lntanx?z=
2,
?z=2xxy, 则
?xycsc2xy?y?y2csc2y.
（2）z?(1?xy)y,则
?z?x=y2(1?xy)y?1,
?z=(1[ln(1.
?y?xy)y?xy)?xy1?xy]z （3）u=
x,则
?ux1z?1,
?u=
1x1z?u=1x1y?x=
1yz(y)?y?xyz(y),?z?z2(y)zlny. （4）u=xyz,则
?uzyz?z=yxlnxlny.
（5）z=(x?ey)x,则
?z?x(1,0)=2ln2?1.
（6）设x?atf(x,t)=?x?at?(u)du,（?是连续函数）,则
?f?x=?(x?at)??(x?at),?f?t=a[?(x?at)??(x?at)].
（7）设u=sin2x?sin2y?sin2z,则
?u=sin2y,?yu(0,π12sin2x?sin2y?sin2zy4,0)=.
2解 （1） ?z?x=1?sec2xy?1y=2ycsc2xtanxy, y
?z122x2x?y=
2tanx?secxy?(?xy)=?y2cscy.
y （2） 求
?z?x时,应当用幂函数的导数公式,得
3
?z?y?z?x=y(1?xy)y?1?y=y2(1?xy)y?1.
求时,把x暂时看做常数,这时,z是关于y的幂指函数,所以
?z?y=
??y[eyln(1?xy)]=eyln(1?xy)[ln(1?xy)?xy1?xy]
=(1?xy)y[ln(1?xy)?11xy1?xy].
1x?111xz?1 （3） =[()z]=()z?=().
?x?xyzyyyzy?u?x11xz?1xxxz?11xz =[()]=()?(?2)=?2()=?().
zyyyzyyzy?y?yy?u?x1z111
?u?z?u?z=
x[()z]=()zln?(?2)=?2()zln.
yyz?zyzyy??z[xyz?x1x1x11x1 （4） =
]=xyzzzylnx?ylny=yxlnxlny.
z注意 常见的错误是遗漏了步骤：
??z(y),而得到错误结果：
z?u?z=xyzlnx.
（5） 法1 因为z=(x?ey)x,则lnz=xln(x?ey),
?z?x=ln(x?ey)?x?1,
yx?ez所以
?z?x?z?xyyx=(x?e)[ln(x?e)?yxx?ey].
从而
(1,0)=2ln2?1
0xx法2 因为z=(x?e),所以z(x,0)=(x?e)=(x?1)
dzdxxln(x?1)ln(x?1)xln(x?1)[ln(x?1)?]?=e=[(x?1)]?=[e]?=[exxxxx?1]
=(x?1)[ln(x?1)?xxx?1],
4
从而
?z?x(1,0)=
dzdx=2ln2?1.
x?1（6）求
?f?x时,暂时将t看做常量,因而f是积分上限、下限的函数,由公式：
dxdx?(x)
af(t)dt=f可得 ?f?x=?(x?at)??(x?at)
同理 ?f?t=?(x?at)?a??(x?at)?(?a)
=a[?(x?at)??(x?at)]. （7） 求解过程略.
2.证明函数f(x,y)?ex2?y4在（0,0）处连续,fy(0,0)?0,而fx(0,0)不存在.
证
=1,
(x,ylim)?(0,0)f(x,y)=
(x,ylimex2?y4=e0)?(0,0)而f(0,0)?e0?1,故f(x,y)?ex2?y4在（0,0）处连续.
f(0,0)e(?y)22 fy(0,0)=limf(0,?y)?=?ylim?1lim(?y)?y?0?y?0?y=?y=0.
?y?0(?x)2 ff(?x,0)?f(0,0)?1e?x1x(0,0)=lim?x=?x?0lime?x?0?x=?lim?x?0?x,
?x而 lime?1?x=?1x?x?0??xlime?x?0??x=lim??x?0??x=1.
lime?x?1=lime??x?1??x?x?0??x?x?0??x=lim?x?0??x=-1.
所以 fx(0,0)不存在.
?(13.设z?ex?1y),求证：x2?zz?x+y2??y=2z.
?(1?(11证
?z?x=ex?1y)?1x?y)x2=
zx2,
?z?y=e?1zy2=
y2,
5