ij02k?1=2i?3j?4k 0 T=n1?n2=23而直线的方向向量
ij?7?1k?21=?14i?12j?2k, ?1 s=91故法平面与直线的夹角
T?sTs ??arcsin?arcsin0?0.
11.过直线???10x?2y?2z?27x?y?z?0作曲面3x2?y2?z2?27的切平面,求此切平面方程.
分析 要写切平面方程,一要求切点,二要求法向量.首先,切点应在曲面上,在切平面上 其次,曲面上切点处的法向量应当与切平面的法向量平行.
解 设切点为M0(x0,y0,z0),则曲面上点M0处的法向量为n={6x0,2y0,?2z0}. 设过直线的平面束方程为
10x?2y?2z?27+?(x?y?z)?0, 即 (10??)x?(2??)y?(2??)z?27?0, 其法向量为n1=(10??,2??,?(2??)).由n//n1可得
10??6x0?2??2y0??(2??)?2z0,
又由切点M0既在曲面上,又在切平面上可得
3x0?y0?z0?27,(10??)x0?(2??)y0?(2??)z0?27?0.
222解此关于x0,y0,z0,?的方程组可得切点(3,1,1)及(?3,?17,?17),于是法向量为{18,2,?2} 及{?18,?34,34},所求切平面为
18(x?3)?2(y?1)?2(z?1)?0，9x?y?z?27?0
及 ?18(x?3)?34(y?17)?34(z?17)?0,9x?17y?17z?27?0，
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易知平面x?y?z?0不满足条件.
12.求函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度.
解 因为f(x,y)?arctanxy所以
1y?xy=2, = fx?f?yx2x?y2x2x2?y21?()1?()yyy?x2从而 gradf(0,1)?{fx,fy}x?0?{y?1yx?y22,?xx?y22}x?0?{1,0}.
y?113.在球面2x2?2y2?2z2?1上求一点C使得函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在点C 沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向的方向导数具有最大值.
????11解 方向l?AB?(1,?1,0),故cos??,cos???,cos??0
22设点M(x,y,z)为球面上任意一点,在该点
?f?x?2x,
?f?y?2y,
?f?z?2z
又函数f(x,y,z)处处可微,故M点的方向导数为
?f?l?f?x?f?y?f?z2?cos??cos??cos??2(x?y)
问题实质是求函数2(x?y)在约束条件2x?2y?2z?1下的最大值问题,作函数 F(x,y,z)?x?y??(2x?2y?2z?1) 1?4?x?0???1?4?y?0?求解 ?,
4?z?0?222??2x?2y?2z?122222得到x??点(,?232
12,y??12,z?0,在点(12,?12,0)处,
?f?l=2,在点(?11?f,,0),=?2,故22?l112,0)即为所求.
?x2?y2?2z2?014.已知曲线L：?，求曲线L距离xoy面最远的点和最近的点.
?x?y?3z?5 解 令(x,y,z)为曲线L上任一点,它在xoy面上的投影点为(x,y,0)则d2?z2 ， 令 F(x,y,z)?z2??1(x2?y2?2z2)??2(x?y?3z?5)
Fx?2?1x??2?0??Fy?2?1y??2?0?? ?Fz?2z?4?1z?3?2?0,
222?x?y?2z?x?y?3z?5??由前两式得x?y,代入第四个式子推出x??z,代入第五个式子推出 2x?3z?5.
当x?z时,解得x?1;当x??z时,解得x??5.
点（1,1,1）时,d1=1;点（-5,-5,5）时,d2?5，从而(1,1,1)为最近点,(?5,?5,5)为 最远点.
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