ij40k T?n1?n2?4110?8i?8j?4k?8{1,?1,?}
22于是所求切线方程为
x?11?y?2?1?z?1?1212, 即
x?12?y?2?2?z?1?1,
法平面方程为 ?x?1??(y?2)?(z?1)?0,即 2x?2y?z?5?0.
注意 常见错误是没有利用已知条件将 m的值确定出来. ?x2?y2?z2?3x?03.求曲线?在(1,1,1)处的切线及法平面方程.
?2x?3y?5z?4?0?x2?y2?z2?3x?0解 法1 把x看作参数,则y和z是由方程组?所确定的x的函
?2x?3y?5z?4?0dydz,}. 数,曲线的切向量为T?{1,dxdx方程组对x求导得
dydz?2x?2y?2z?3?0??dxdx ?
dydz?2?3?5?0?dxdx?将点(1,1,1)代入得
dydz?2?2?2?3?0??dxdx ?
?2?3dy?5dz?0?dxdx?解得
dydx=
916,
dzdx=?116,于是曲线在点(1,1,1)处的切向量为
916116116 T?{1,,?}={16,9,?1},
所求切线与法平面分别为
16
x?116?y?19?z?1?1,
16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0,即 16x?9y?z?24?0.
法2 构成曲线的曲面x2?y2?z2?3x?0与2x?3y?5z?4?0上点(1,1,1)处的法向量分别为
n1?{2x?3,2y,2z} n2?{2,?3,5},
曲线上点(1,1,1)处的切向量为T?n1?n2?{16,9,?1}.下面解法同法1.
4.在椭球面x?2(1,1,1)=（-1,2,2）
y24?z24?1上求一点,使该点处的法线与三条坐标轴正方向成等角.
解 依题意法线发现与三条坐标轴正向成等角,故有所求点处法向量的三个坐标应相等,又点在椭球面上,应满足椭球面方程,上述条件联立,即可得所求点,令
y2 F(x,y,z)=x?24?z24?1
设所求点为M(x0,y0,z0),则在点M的法向量为
n??Fx,Fy,Fz?yz????2x0,0,0?
22??M因为法线与三条坐标轴正向成等角,故有
2x0?又点M在椭球面上,满足
2y02?z02 （1）
x0?y042?z042?1 （2）
将方程（1）,（2）联立,得两组解为：(,144144,)及(?,?,?) 333333上述两点处的法线与三条坐标轴正向成等角.
5.在曲面z?xy上求一点,使该点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0,并写出该法
线方程.
解 设点(x,y,z)为曲面z?xy上任一点,该点处的法向量为n??y,x,?1?.平面
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x?3y?z?9?0的法向量n1??1,3,1?.欲使法线垂直于平面,应有n//n1,
故
y1?x3??11 ,
由此可得x??3,y??1,将x??3,y??1代入曲面方程z?xy,可得z?3,故所求点为(?3,?1,3).
y6.证明：曲面z?xex上任一点处的切平面均过坐标原点.
证 欲证一平面过原点,只须证该平面的一般式方程Ax?By?Cz?D?0中的D?0y即可.令F(x,y,z)?xe?z,则
xy Fx?ex?yxyyex,Fy?ex,Fz??1,
曲面上任一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为
y0x0(e?y0x0y0y0ex0)(x?x0)?ex0(y?y0)?(z?z0)?0 ，
化为一般式为
y0x0 (e?y0x0y0x0y0y0y0y0y0ex0)x?ex0y?z?[?x0ex0?y0ex0?y0ex0?z0]?0 ，
y0y0y0即 (ex0?ex0)x?ex0y?z?0.
所以曲面上任一点处的切平面均过坐标原点.
2227.证明曲面x3?y3?z3?4上任一点处的切平面在各坐标轴上的截距的平方和为一常数.
222证 设点M(x0,y0,z0)为曲面上任一点,则x03?y03?z03?4
111??????3该点处的法向量为 n??x0,y03,z03?,
???该点处的切平面方程为 x0?13(x?x0)?y0?13(y?y0)?z0?13(z?z0)?0
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x03x?y0截距式方程为
3?1?13y?z0?13222z?x03?y03?z03?4
x4x0?y43y0?z4z03?1
截距的平方和为
222222 16x03?16y03?16z03?16(x03?y03?z03)?64.
第七节 方向导数与梯度
1.求函数u?xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向导数. 解 函数u?xyz在平面上处处可微,故
?u?l?u?x=
?u?xcosa??u?ycos???u?zcos?.
=yz,
?u?y=xz,
?u?z=xy,
在点(5,1,2)处,
?u?x=2,
?u?y=10,
?u?z=5.
又l?{9?5,4?1,14?2}?{4,3,12}, l?4134134?3?12?13,
3131213222故 cos???u?l,cos??3,cos??1213,
?2??10?13?5??9813.
2222.求函数u?x?y?z在球面x?y?z?3上点M0(1,1,1)处沿球面在这点的外法
线方向的方向导数.
222解 令F(x,y,z)?x?y?z?3,则Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z.在点(1,1,1)处,
法线方向为
n?{2,2,2}.
对于封闭曲面来讲,其法线方向有内外之分,由里指向外的方向叫外法线方向。点M0为
19
第一卦限的点,由图8.2可知,该点处的外法 线方向n与三个坐标轴的夹角均为锐角,故n 的三个方向数均应为正数：n?{2,2,2}.于是
cos?=cos?=cos?=13图 8.2
图 8.2
又
?u?x=
?u?y=
?u?z=1,
故
?u?n?1?13?1?13?1?13?3. 3.设x轴正向到方向L的转角为?,求函数f(x,y)?x2?xy?y2在点（1,1）沿方向L的方向导数,并分别确定转角?,使该导数有：（1）最大值;（2）最小值;（3）等于0.
解
?f?x2=2x?y,
?f?y=2y?x,在点（1,1）处,
?f?x=1,
?f?y=1.又函数
f(x,y)?x?xy?y在点（1,1）处可微,
?f?L2=1?cos??1?sin?=2sin(???4) ,
于是,当????3?4?4时,方向导数有最大值2;当??5?4时,方向导数有最小值?2;当
或??7?4时,方向导数等于0.
222224.求函数u?x?y?z在曲线x?t,y?t,z?t上点（1,1,1）处,沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.
解
?u?x=2x,
?u?y=2y,
?u?z=2z,在点（1,1,1）处,
?u?x=2,
?u?y=2,
?u?z=2.
曲线上点（1,1,1）对应的参数值为t=1,该点的切线正方向为 l={1,2t,3t}1142142t?1={1,2,3},
314于是cos??,cos??,cos??,所求方向导数为
?u?l=2?114?2?214?2?314=1214=6714.
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